গড় (Mean), মধ্যমা (Median) এবং সংখ্যাগুরুমান (Mode) Practice Set – Part 1 | Class X

 প্রিয় শিক্ষার্থীরা, গড় (Mean), মধ্যমা (Median) এবং সংখ্যাগুরুমান (Mode) অধ্যায়ের প্রস্তুতিকে আরও শক্তিশালী করার জন্য নিয়ে এলাম Practice Set – Part 1। এই সেটে বিভিন্ন ধরনের গুরুত্বপূর্ণ ও পরীক্ষাভিত্তিক প্রশ্ন রয়েছে, যা তোমার ধারণা পরিষ্কার করার পাশাপাশি Calculation Speed ও Accuracy বাড়াতে সাহায্য করবে।

প্রতিটি প্রশ্ন নিজে সমাধান করার চেষ্টা করো। কোথাও ভুল হলে হতাশ না হয়ে সেই ভুলের কারণ খুঁজে আবার অনুশীলন করো। নিয়মিত Practice-ই তোমাকে Madhyamik পরীক্ষায় আরও আত্মবিশ্বাসী করে তুলবে।

রাশিবিজ্ঞান: যৌগিক গড়, মধ্যমা ও সংখ্যাগুরুমান (30টি অনুশীলনী প্রশ্ন)

(1) $6, 7, x, 8, y, 14$ তথ্যগুলির গড় $9$ হলে, $x + y$-এর মান কত?

(a) $21$ (b) $19$ (c) $18$ (d) $20$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

গড় = $\frac{\sum x}{n} \implies 9 = \frac{6 + 7 + x + 8 + y + 14}{6}$
$\implies 54 = 35 + x + y \implies x + y = 54 - 35 = 19$

(2) কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপগুলির মধ্যে সংখ্যানুপাতিক সম্পর্কটি কোনটি?

(a) সংখ্যাগুরুমান = $2 \times$ মধ্যমা - $3 \times$ গড় (b) সংখ্যাগুরুমান = $3 \times$ মধ্যমা - $2 \times$ গড় (c) গড় = $3 \times$ মধ্যমা - $2 \times$ সংখ্যাগুরুমান (d) মধ্যমা = $3 \times$ সংখ্যাগুরুমান - $2 \times$ গড়

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপগুলির মধ্যে অভিজ্ঞতালব্ধ (Empirical) সম্পর্ক হলো:
$\text{Mode} = 3 \times \text{Median} - 2 \times \text{Mean}$
অর্থাৎ, সংখ্যাগুরুমান = $3 \times$ মধ্যমা - $2 \times$ গড়।

(3) প্রথম $n$ সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার যৌগিক গড় কত?

(a) $\frac{n+1}{2}$ (b) $\frac{n}{2}$ (c) $\frac{n(n+1)}{2}$ (d) $\frac{n-1}{2}$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

প্রথম $n$ টি স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = $\frac{n(n+1)}{2}$
সুতরাং গড় = $\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n} = \frac{n+1}{2}$

(4) $3, 5, 7, 12, 11, 13, 9, 10$ তথ্যটির মধ্যমা কত?

(a) $9$ (b) $9.5$ (c) $10$ (d) $8.5$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজালে পাই: $3, 5, 7, 9, 10, 11, 12, 13$
এখানে পদের সংখ্যা $n = 8$ (জোড় সংখ্যা)।
মধ্যমা = $\frac{4\text{র্থ পদ} + 5\text{ম পদ}}{2} = \frac{9 + 10}{2} = 9.5$

(5) $2, 3, 5, 3, 4, 3, 2, 5, 3, 3$ তথ্যটির সংখ্যাগুরুমান কত?

(a) $2$ (b) $3$ (c) $4$ (d) $5$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

প্রদত্ত রাশিমালার মানগুলির মধ্যে $3$ সংখ্যাটি সর্বাধিক (৫ বার) রয়েছে।
অতএব নির্ণেয় সংখ্যাগুরুমান (Mode) = $3$।

(6) ক্রমিচ্যুত পদ্ধতিতে (Step-deviation method) গড় নির্ণয়ের সূত্র $\bar{x} = a + \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i} \times h$-এ $u_i$ এর মান কোনটি?

(a) $\frac{x_i - a}{h}$ (b) $\frac{a - x_i}{h}$ (c) $(x_i - a) \times h$ (d) $x_i - a$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

ক্রমিচ্যুত পদ্ধতিতে প্রাপ্ত চ্যুতির স্কেলিং করার জন্য $u_i = \frac{d_i}{h} = \frac{x_i - a}{h}$ ব্যবহার করা হয়, যেখানে $a$ হলো কল্পিত গড় এবং $h$ হলো শ্রেণী দৈর্ঘ্য।

(7) কোনো তথ্যের মধ্যমা এবং গড় যথাক্রমে $15$ এবং $12$ হলে, তথ্যটির সংখ্যাগুরুমান কত?

(a) $18$ (b) $21$ (c) $24$ (d) $27$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

সূত্রানুসারে: $\text{Mode} = 3 \times \text{Median} - 2 \times \text{Mean}$
$\implies \text{Mode} = 3 \times 15 - 2 \times 12 = 45 - 24 = 21$

(8) ক্ষুদ্রতর সূচক ও বৃহত্তর সূচক ওজাইভ (Ogive) দুটি যে বিন্দুতে ছেদ করে, সেই বিন্দুর $x$-স্থানাঙ্ক কোনটি নির্দেশ করে?

(a) গড় (b) মধ্যমা (c) সংখ্যাগুরুমান (d) কোনোটিই নয়

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

ক্ষুদ্রতর সূচক ও বৃহত্তর সূচক ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা রেখাঙ্কন (Ogive)-এর ছেদবিন্দু থেকে $x$-অক্ষের উপর লম্ব টানলে $x$-অক্ষে প্রাপ্ত ছেদবিন্দুর মানটি তথ্যের **মধ্যমা (Median)** নির্দেশ করে।

(9) $x_1, x_2, \dots, x_n$ এর গড় $\bar{x}$ হলে, $ax_1, ax_2, \dots, ax_n$ (যেখানে $a \ne 0$) এর গড় কত হবে?

(a) $a\bar{x}$ (b) $\bar{x} + a$ (c) $\frac{\bar{x}}{a}$ (d) $\bar{x}$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

নতুন গড় = $\frac{ax_1 + ax_2 + \dots + ax_n}{n} = a \left(\frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}\right) = a\bar{x}$।
প্রতিটি তথ্যকে নির্দিষ্ট ধ্রুবক দ্বারা গুণ করলে গড়ও সমপরিমাণ গুণিতক হয়।

(10) মধ্যমা নির্ণয়ের ক্ষেত্রে শ্রেণি সীমানার $L$ সংকেতটি কী নির্দেশ করে?

(a) মধ্যমা শ্রেণির নিম্ন শ্রেণি সীমানা (b) মধ্যমা শ্রেণির উচ্চ শ্রেণি সীমানা (c) মোট পরিসংখ্যা (d) শ্রেণি দৈর্ঘ্য

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

মধ্যমা নির্ণয়ের সূত্র $\text{Median} = L + \left(\frac{\frac{n}{2} - c.f.}{f}\right) \times h$-এ $L$ প্রতীকটি **মধ্যমা শ্রেণির নিম্ন শ্রেণি সীমানা (Lower limit of median class)** নির্দেশ করে।

(11) $10, 12, 16, 20, p, 26$ তথ্যগুলির মধ্যমা $17$ হলে, $p$-এর মান কত? (যেখানে তথ্যগুলি ঊর্ধ্বক্রমে সাজানো)

(a) $17$ (b) $18$ (c) $19$ (d) $20$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

এখানে $n = 6$ (জোড়)। মধ্যমা = $\frac{3\text{য় পদ} + 4\text{র্থ পদ}}{2} = \frac{16 + 20}{2} = 18$ বা যদি $p$ ৩য়/৪র্থ পদ হয়:
প্রদত্ত সাজানো তথ্যে মধ্যমা = $\frac{16 + p}{2} = 17 \implies 16 + p = 34 \implies p = 18$

(12) আয়তলেখ (Histogram) অঙ্কনের মাধ্যমে সহজে কোনো তথ্যের কী নির্ণয় করা যায়?

(a) গড় (b) মধ্যমা (c) সংখ্যাগুরুমান (d) কোনোটিই নয়

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

লেখচিত্রের সাহায্যে আয়তলেখ (Histogram) একে সর্বোচ্চ আয়তক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দুসমূহকে পাশ্ববর্তী আয়তক্ষেত্রের সাথে যুক্ত করে জ্যামিতিকভাবে **সংখ্যাগুরুমান (Mode)** নির্ণয় করা যায়।

(13) $5, 8, 12, 15, x$ এর গড় $10$ হলে, $x$-এর মান কত?

(a) $10$ (b) $12$ (c) $8$ (d) $15$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

গড় = $\frac{5 + 8 + 12 + 15 + x}{5} = 10 \implies 40 + x = 50 \implies x = 10$

(14) সংখ্যাগুরুমান নির্ণয়ের ক্ষেত্রে শ্রেণিশ্রেষ্ঠ পরিসংখ্যাকে কী দ্বারা চিহ্নিত করা হয়?

(a) $f_1$ (b) $f_0$ (c) $f_2$ (d) $f_m$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

সংখ্যাগুরুমান নির্ণয়ের সূত্রে: $\text{Mode} = L + \left(\frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2}\right) \times h$
এখানে $f_1$ হলো সংখ্যাগুরুমান শ্রেণির (Modal class) নিজস্ব পরিসংখ্যা।

(15) $15, 17, 19, 20, 22, 25, 27$ তথ্যটির মধ্যমা কত?

(a) $19$ (b) $20$ (c) $22$ (d) $19.5$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

এখানে পদের সংখ্যা $n = 7$ (বিজোর)।
মধ্যমা = $\left(\frac{7+1}{2}\right)\text{তম পদ} = 4\text{র্থ পদ} = 20$

(16) কোনো তথ্যের প্রতিটি মান থেকে $5$ বিয়োগ করলে যদি নতুন গড় $12$ হয়, তবে মূল তথ্যের গড় কত ছিল?

(a) $7$ (b) $17$ (c) $12$ (d) $60$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

প্রকৃতিগতভাবে $\overline{x - a} = \bar{x} - a \implies 12 = \bar{x} - 5 \implies \bar{x} = 17$
সুতরাং মূল গড় ছিল $17$।

(17) $10, 11, 12, 10, 15, 12, 10, 12, 16, 12$ তথ্যটিতে সংখ্যাগুরুমান কত?

(a) $10$ (b) $12$ (c) $15$ (d) $11$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

$10$ আছে ৩ বার, এবং $12$ আছে ৪ বার।
যেহেতু $12$ সংখ্যাটি সর্বাধিকবার উপস্থিত, তাই সংখ্যাগুরুমান = $12$।

(18) কল্পিত গড় পদ্ধতিতে (Assumed Mean Method) গড় নির্ণয়ের সূত্র কোনটি?

(a) $\bar{x} = a + \frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i}$ (b) $\bar{x} = a - \frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i}$ (c) $\bar{x} = \frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i}$ (d) $\bar{x} = a + \sum f_i d_i$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

কল্পিত গড় পদ্ধতিতে চ্যুতি $d_i = x_i - a$ ধরা হয়, এবং সঠিক যৌগিক গড় নির্ণয়ের সূত্র হলো: $\bar{x} = a + \frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i}$।

(19) $1, 2, 3, \dots, n$ এর মধ্যমা কত (যখন $n$ একটি বিজোড় সংখ্যা)?

(a) $\frac{n+1}{2}$ (b) $\frac{n}{2}$ (c) $\frac{n-1}{2}$ (d) $\frac{n}{2} + 1$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

যদি পদের সংখ্যা $n$ বিজোড় হয়, তবে মানগুলি সাজালে ঠিক মাঝের পদটি হলো $\frac{n+1}{2}$-তম পদ। যেহেতু প্রথম $n$ টি সংখ্যা পরপর $1, 2, 3 \dots$, তাই $\frac{n+1}{2}$-তম পদের মানও হবে $\frac{n+1}{2}$।

(20) শ্রেণী $10-20, 20-30, 30-40$ এর ক্ষেত্রে $20-30$ শ্রেনীর মধ্যবিন্দু (Class Mark) কত?

(a) $20$ (b) $25$ (c) $30$ (d) $15$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

শ্রেণি মধ্যবিন্দু ($x_i$) = $\frac{\text{উচ্চ শ্রেণি সীমানা} + \text{নিম্ন শ্রেণি সীমানা}}{2} = \frac{30 + 20}{2} = 25$

(21) $x_i$ যদি শ্রেণি মধ্যবিন্দু হয় এবং $f_i$ সংশ্লিষ্ট পরিসংখ্যা হয়, তবে প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতে গড় নির্ণয়ের সূত্র কোনটি?

(a) $\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ (b) $\frac{\sum f_i}{\sum f_i x_i}$ (c) $\sum f_i x_i$ (d) $\frac{\sum x_i}{n}$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

ভারযুক্ত বা পরিসংখ্যা বিভাজনের ক্ষেত্রে প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতে (Direct Method) যৌগিক গড় $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$।

(22) $6, 8, 5, 7, x, 4$ তথ্যের মধ্যমা $6$ হলে, $x$-এর সম্ভাব্য মান কোনটি? (যেখানে $x$ ধনাত্মক সংখ্যা)

(a) $6$ (b) $9$ (c) $10$ (d) $12$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

সংখ্যাগুলি সাজালে $4, 5, 6, 7, 8$ এবং $x$ আছে। $n=6$।
যদি $x=6$ হয়, সাজানো রূপ: $4, 5, 6, 6, 7, 8$।
মাঝের দুটি পদ $6$ এবং $6$, যাদের গড় $\frac{6+6}{2} = 6$। সুতরাং $x=6$ সঠিক।

(23) $x, x+3, x+6, x+9, x+12$ এর গড় $10$ হলে, $x$-এর মান কত?

(a) $2$ (b) $4$ (c) $6$ (d) $8$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

গড় = $\frac{x + (x+3) + (x+6) + (x+9) + (x+12)}{5} = 10$
$\implies \frac{5x + 30}{5} = 10 \implies x + 6 = 10 \implies x = 4$

(24) ওজাইভ (Ogive) অঙ্কনের সময় $y$-অক্ষ বরাবর কী স্থাপন করা হয়?

(a) শ্রেণি সীমানা (b) ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা (Cumulative Frequency) (c) পরিসংখ্যা (Frequency) (d) শ্রেণি মধ্যবিন্দু

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

ওজাইভ অঙ্কনের সময় $x$-অক্ষ বরাবর শ্রেণি সীমানা এবং $y$-অক্ষ বরাবর সংশ্লিষ্ট **ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা (c.f.)** বসানো হয়।

(25) প্রথম $5$ টি মৌলিক সংখ্যার মধ্যমা কত?

(a) $3$ (b) $5$ (c) $7$ (d) $5.6$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

প্রথম $5$ টি মৌলিক সংখ্যা হলো: $2, 3, 5, 7, 11$
যেহেতু $n = 5$ (বিজোড়), মাঝের পদটি অর্থাৎ $3$য় পদ = $5$।
সুতরাং নির্ণেয় মধ্যমা = $5$।

(26) যদি কোন বিভাজনের গড় $25$ এবং $\sum f_i = 20$ হয়, তবে $\sum f_i x_i$-এর মান কত?

(a) $400$ (b) $500$ (c) $1000$ (d) $250$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

আমরা জানি, $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} \implies 25 = \frac{\sum f_i x_i}{20} \implies \sum f_i x_i = 25 \times 20 = 500$

(27) $11, 12, 14, (x - 2), (x + 4), 20, 23, 25$ তথ্যটি ঊর্ধ্বক্রমে সাজানো আছে এবং এর মধ্যমা $17$ হলে, $x$-এর মান কত?

(a) $15$ (b) $16$ (c) $17$ (d) $18$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

$n = 8$ (জোড় সংখ্যা)।
মাঝের দুটি পদ হলো $4$র্থ পদ $(x - 2)$ এবং $5$ম পদ $(x + 4)$।
মধ্যমা = $\frac{(x - 2) + (x + 4)}{2} = 17 \implies \frac{2x + 2}{2} = 17 \implies x + 1 = 17 \implies x = 16$

(28) কোনো পরিসংখ্যা বিভাজনে সংখ্যাগুরুমান শ্রেণি (Modal Class) কোনটি?

(a) যে শ্রেণির পরিসংখ্যা সর্বাধিক (b) যে শ্রেণির পরিসংখ্যা সর্বনিম্ন (c) প্রথম শ্রেণিটি (d) শেষ শ্রেণিটি

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

পরিসংখ্যা বিভাজনের ক্ষেত্রে যে শ্রেণির পরিসংখ্যা সবচেয়ে বেশি (সর্বাধিক) থাকে, সেই শ্রেণিকে **সংখ্যাগুরুমান শ্রেণি (Modal Class)** বলা হয়।

(29) $3, 4, 2, 3, x, 5, 4$ তথ্যের সংখ্যাগুরুমান $4$ হলে $x$-এর মান কত?

(a) $3$ (b) $4$ (c) $2$ (d) $5$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

এখানে $3$ আছে ২ বার এবং $4$ আছে ২ বার।
যদি সংখ্যাগুরুমান $4$ হতে হয়, তবে $4$ এর উপস্থিতি $3$ এর চেয়ে বেশি হতে হবে।
সুতরাং $x$ এর মান অবশ্যই $4$ হতে হবে (যাতে $4$ মোট ৩ বার থাকে)।

(30) যদি $u_i = \frac{x_i - 25}{10}$, $\sum f_i u_i = 20$ এবং $\sum f_i = 100$ হয়, তবে গড় ($\bar{x}$) এর মান কত?

(a) $27$ (b) $25$ (c) $30$ (d) $22$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

এখানে কল্পিত গড় $a = 25$ এবং শ্রেণি দৈর্ঘ্য $h = 10$।
গড় নির্ণয়ের সূত্র: $\bar{x} = a + \left(\frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i}\right) \times h$
$\bar{x} = 25 + \left(\frac{20}{100}\right) \times 10 = 25 + 2 = 27$

2