রাশিবিজ্ঞান: যৌগিক গড়, মধ্যমা ও সংখ্যাগুরুমান (Mean, Median & Mode) – Practice Set Part 2

 প্রিয় শিক্ষার্থীরা, রাশিবিজ্ঞান: যৌগিক গড়, মধ্যমা ও সংখ্যাগুরুমান অধ্যায়ের অনুশীলনকে আরও শক্তিশালী করার জন্য নিয়ে এলাম Practice Set – Part 2।

এই সেটে রয়েছে বিভিন্ন ধরনের গুরুত্বপূর্ণ ও পরীক্ষাভিত্তিক প্রশ্ন। প্রতিটি প্রশ্ন নিজে সমাধান করার চেষ্টা করো এবং প্রয়োজনীয় সূত্র ও পদ্ধতিগুলো সঠিকভাবে প্রয়োগ করো। নিয়মিত অনুশীলনের মাধ্যমে তোমাদের ধারণা, হিসাবের দক্ষতা ও নির্ভুলতা আরও উন্নত হবে।

মন দিয়ে অনুশীলন করো, নিজের ভুলগুলো খুঁজে বের করো এবং মাধ্যমিক পরীক্ষার প্রস্তুতিকে আরও এক ধাপ এগিয়ে নিয়ে যাও।

রাশিবিজ্ঞান: যৌগিক গড়, মধ্যমা ও সংখ্যাগুরুমান — অনুশীলনী সেট ২ (30টি নতুন প্রশ্ন)

(1) প্রথম $n$ সংখ্যক বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার যৌগিক গড় কত?

(a) $\frac{n+1}{2}$ (b) $n$ (c) $2n - 1$ (d) $n^2$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

প্রথম $n$ টি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = $n^2$।
অতএব, নির্ণেয় গড় = $\frac{n^2}{n} = n$।

(2) $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$ এই ১০টি সংখ্যার বর্গের গড় কত?

(a) $30.25$ (b) $38.5$ (c) $55$ (d) $42.5$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

প্রথম $n$ টি স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$।
এখানে $n = 10$, সুতরাং সমষ্টি = $\frac{10 \times 11 \times 21}{6} = 385$।
অতএব, বর্গের গড় = $\frac{385}{10} = 38.5$।

(3) $10$ টি তথ্যের গড় $15$। যদি একটি নতুন তথ্য $26$ যোগ করা হয়, তবে নতুন গড় কত হবে?

(a) $16$ (b) $16.5$ (c) $17$ (d) $15.5$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

১০টি তথ্যের মোট যোগফল = $10 \times 15 = 150$।
নতুন তথ্য যুক্ত হওয়ার পর ১১টি তথ্যের মোট যোগফল = $150 + 26 = 176$।
অতএব, নতুন গড় = $\frac{176}{11} = 16$।

(4) $10, 15, 20, 25, 30$ তথ্যগুলির প্রতিটি থেকে $3$ বিয়োগ করে গঠিত নতুন তথ্যের গড় কত হবে?

(a) $20$ (b) $17$ (c) $23$ (d) $15$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

মূল তথ্যগুলির গড় = $\frac{10 + 15 + 20 + 25 + 30}{5} = \frac{100}{5} = 20$।
প্রতিটি সংখ্যা থেকে $3$ বিয়োগ করলে নতুন গড়ও মূল গড় থেকে $3$ কমে যাবে।
নতুন গড় = $20 - 3 = 17$।

(5) $x, x+2, x+4, x+6, x+8$ এর মধ্যমা $12$ হলে, $x$-এর মান কত?

(a) $8$ (b) $10$ (c) $6$ (d) $12$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

এখানে ৫টি পদ ঊর্ধ্বক্রমে সাজানো আছে।
মাঝের পদটি (৩য় পদ) হলো মধ্যমা।
অতএব, $x + 4 = 12 \implies x = 12 - 4 = 8$।

(6) প্রথম $n$ সংখ্যক জোড় স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল $n(n+1)$ হলে, তাদের যৌগিক গড় কত?

(a) $n$ (b) $n+1$ (c) $2n$ (d) $\frac{n+1}{2}$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

গড় = $\frac{\text{মোট যোগফল}}{\text{মোট পদসংখ্যা}} = \frac{n(n+1)}{n} = n+1$।

(7) $1, 3, 5, 7, 9, \dots, (2n - 1)$ সারিটির মধ্যমা কোনটি?

(a) $n$ (b) $n+1$ (c) $2n$ (d) $\frac{n}{2}$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

এটি প্রথম $n$ টি বিজোড় সংখ্যার সমান্তর প্রগতি।
যেকোনো সমান্তর প্রগতির গড় ও মধ্যমা সমান হয়।
আমরা জানি প্রথম $n$ টি বিজোড় সংখ্যার গড় = $n$, সুতরাং মধ্যমাও হবে $n$।

(8) যদি কোনো বিভাজনের গড় $20$ এবং সংখ্যাগুরুমান $14$ হয়, তবে ওই বিভাজনের মধ্যমা কত?

(a) $18$ (b) $16$ (c) $17$ (d) $19$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

সূত্র: $\text{Mode} = 3 \times \text{Median} - 2 \times \text{Mean}$
$\implies 14 = 3 \times \text{Median} - 2 \times 20$
$\implies 14 = 3 \times \text{Median} - 40 \implies 3 \times \text{Median} = 54 \implies \text{Median} = 18$।

(9) $2, 4, 6, 8, 10, 12$ এর গড় ও মধ্যমার অনুপাত কত?

(a) $1:1$ (b) $2:3$ (c) $3:2$ (d) $1:2$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

গড় = $\frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12}{6} = \frac{42}{6} = 7$।
মধ্যমা = $\frac{6 + 8}{2} = 7$।
অতএব, অনুপাত = $7 : 7 = 1 : 1$।

(10) মধ্যমা নির্ণয়ে "ক্ষুদ্রতর সূচক" ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা তৈরির সময় শ্রেণি সীমানার কোন মানটি নেওয়া হয়?

(a) উচ্চ শ্রেণি সীমানা (b) নিম্ন শ্রেণি সীমানা (c) শ্রেণি মধ্যবিন্দু (d) শ্রেণি দৈর্ঘ্য

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

ক্ষুদ্রতর সূচক (Less than type) ওজাইভ বা ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা তালিকার ক্ষেত্রে প্রতিটি শ্রেণির **উচ্চ শ্রেণি সীমানা (Upper class limit)** থেকে কম মান ধরা হয়।

(11) $a, b, c$ এর গড় $M$ এবং $ab + bc + ca = 0$ হলে, $a^2, b^2, c^2$ এর গড় কত?

(a) $3M^2$ (b) $9M^2$ (c) $M^2$ (d) $6M^2$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

গড় $M = \frac{a+b+c}{3} \implies a+b+c = 3M$।
আমরা জানি, $(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab+bc+ca)$।
$\implies (3M)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(0) \implies a^2 + b^2 + c^2 = 9M^2$।
অতএব, $a^2, b^2, c^2$ এর গড় = $\frac{a^2 + b^2 + c^2}{3} = \frac{9M^2}{3} = 3M^2$।

(12) $1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4$ তথ্যটির সংখ্যাগুরুমান কত?

(a) $1$ (b) $2$ (c) $3$ (d) $4$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

এখানে $4$ মানটি সর্বাধিক (৪ বার) রয়েছে।
সুতরাং সংখ্যাগুরুমান = $4$।

(13) যদি $\sum f_i = 50$ এবং $\sum f_i x_i = 250$ হয়, তবে প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতে যৌগিক গড় কত?

(a) $5$ (b) $10$ (c) $12.5$ (d) $20$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

গড় $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{250}{50} = 5$।

(14) কল্পিত গড় $a = 50$, শ্রেণি দৈর্ঘ্য $h = 10$, $\sum f_i = 100$ এবং $\sum f_i u_i = 15$ হলে যৌগিক গড় কত?

(a) $51.5$ (b) $50.15$ (c) $65$ (d) $52.5$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

ক্রমিচ্যুত পদ্ধতিতে গড় $\bar{x} = a + \left(\frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i}\right) \times h$
$\bar{x} = 50 + \left(\frac{15}{100}\right) \times 10 = 50 + 1.5 = 51.5$।

(15) $15, 12, 10, 22, 18, 25, 30$ তথ্যের মধ্যমা নির্ণয় করতে হলে প্রথম পদক্ষেপ কী?

(a) তথ্যগুলিকে মানের ক্রমানুসারে সাজানো (b) সমস্ত পদের যোগফল বের করা (c) বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম পদের বিয়োগ করা (d) পরিসংখ্যা বিভাজন তৈরি করা

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

অবিন্যস্ত তথ্যের মধ্যমা নির্ণয়ের প্রথম এবং প্রধান শর্ত হলো তথ্যগুলিকে মানের ঊর্ধ্বক্রমে বা অধঃক্রমে সাজিয়ে নেওয়া।

(16) সংখ্যাগুরুমান নির্ণয়ের ক্ষেত্রে $f_0$ দিয়ে কী বোঝানো হয়?

(a) সংখ্যাগুরুমান শ্রেণির ঠিক পূর্ববর্তী শ্রেণির পরিসংখ্যা (b) সংখ্যাগুরুমান শ্রেণির নিজস্ব পরিসংখ্যা (c) সংখ্যাগুরুমান শ্রেণির ঠিক পরবর্তী শ্রেণির পরিসংখ্যা (d) মোট পরিসংখ্যা

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

সংখ্যাগুরুমানের সূত্র অনুযায়ী:
$f_1$ = সংখ্যাগুরুমান শ্রেণির পরিসংখ্যা
$f_0$ = সংখ্যাগুরুমান শ্রেণির **ঠিক পূর্ববর্তী শ্রেণির** পরিসংখ্যা
$f_2$ = সংখ্যাগুরুমান শ্রেণির **ঠিক পরবর্তী শ্রেণির** পরিসংখ্যা।

(17) $8$ টি পদের গড় $20$। যদি প্রতিটি পদকে $2$ দিয়ে গুণ করা হয়, তবে নতুন গড় কত হবে?

(a) $20$ (b) $40$ (c) $10$ (d) $22$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

তথ্যমালার প্রতিটি উপাদানকে কোনো নির্দিষ্ট সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে, নতুন গড়টি মূল গড়ের সমান গুণিতক হয়।
অতএব, নতুন গড় = $20 \times 2 = 40$।

(18) শ্রেণি অন্তর $0-10, 10-20, 20-30$-এর শ্রেণি দৈর্ঘ্য ($h$) কত?

(a) $10$ (b) $5$ (c) $20$ (d) $15$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

শ্রেণি দৈর্ঘ্য ($h$) = উচ্চ শ্রেণি সীমানা - নিম্ন শ্রেণি সীমানা = $10 - 0 = 10$।

(19) $2, 3, 4, 5, 6, 7$ এর মধ্যমা কত?

(a) $4.5$ (b) $4$ (c) $5$ (d) $4.2$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

পদসংখ্যা $n = 6$ (জোড়)।
মধ্যমা = $\frac{3\text{য় পদ} + 4\text{র্থ পদ}}{2} = \frac{4 + 5}{2} = 4.5$।

(20) কেন্দ্রীয় প্রবণতার সবচেয়ে নির্ভরযোগ্য ও বহুল ব্যবহৃত পরিমাপ কোনটি?

(a) যৌগিক গড় (Mean) (b) মধ্যমা (Median) (c) সংখ্যাগুরুমান (Mode) (d) ওজাইভ (Ogive)

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

যেহেতু যৌগিক গড় নির্ণয়ে তথ্যের প্রতিটি পদ সরাসরি ব্যবহৃত হয়, তাই এটি কেন্দ্রীয় প্রবণতার সর্বাধিক নির্ভরযোগ্য পরিমাপ।

(21) $12, 14, 15, x, 20, 25$ তথ্যটিতে পদগুলি ঊর্ধ্বক্রমে সাজানো আছে। মধ্যমা $17$ হলে, $x$-এর মান কত?

(a) $18$ (b) $19$ (c) $16$ (d) $17$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

পদসংখ্যা $n = 6$। মাঝের পদ দুটি হলো ৩য় পদ ($15$) এবং ৪র্থ পদ ($x$)।
মধ্যমা = $\frac{15 + x}{2} = 17 \implies 15 + x = 34 \implies x = 19$।

(22) যদি কোনো তথ্যে সবকটি পদের মান সমান হয় (ধরি $k$), তবে তার গড়, মধ্যমা ও সংখ্যাগুরুমানের সম্পর্ক কী হবে?

(a) গড় = মধ্যমা = সংখ্যাগুরুমান = $k$ (b) গড় > মধ্যমা > সংখ্যাগুরুমান (c) গড় < মধ্যমা < সংখ্যাগুরুমান (d) কোনটিই নির্দিষ্ট নয়

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

যদি তথ্যের সকল পদের মান অভিন্ন ধ্রুবক $k$ হয়, তবে তার গড়, মধ্যমা এবং সংখ্যাগুরুমান তিনটি পরিমাপই পরস্পরের সমান এবং $k$-এর সমান হয়।

(23) ওজাইভের ক্ষেত্রে $x$-অক্ষে কী স্থাপন করা হয়?

(a) শ্রেণি সীমানা (b) ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা (c) সাধারণ পরিসংখ্যা (d) শ্রেণি পরিধি

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

ওজাইভ (Ogive) অঙ্কন করার সময় আনুভূমিক অক্ষ বা $x$-অক্ষ বরাবর **শ্রেণি সীমানা (Class limits)** স্থাপন করা হয়।

(24) কল্পিত গড় পদ্ধতিতে $d_i$ বলতে কী বোঝানো হয়?

(a) $x_i - a$ (b) $\frac{x_i - a}{h}$ (c) $a - x_i$ (d) $x_i + a$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

কল্পিত গড় $a$ থেকে শ্রেণি মধ্যবিন্দু $x_i$-এর বিচ্যুতি বা চ্যুতিকে $d_i = x_i - a$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

(25) $5, 5, 5, 7, 7, 7, 9, 9, 9$ এই তথ্যটির সংখ্যাগুরুমান কত?

(a) $5$ (b) $7$ (c) $9$ (d) সংখ্যাগুরুমান নেই (বা ৫, ৭, ৯ তিনটিই)

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

এখানে ৫, ৭ এবং ৯ প্রতিটি পদই সমসংখ্যক (৩ বার করে) উপস্থিত। কোনো একটি নির্দিষ্ট পদ এককভাবে সর্বাধিকবার নেই, তাই এটি বহু-সংখ্যাগুরুমান বিশিষ্ট (বা এই তথ্যের সুনির্দিষ্ট একক সংখ্যাগুরুমান নেই)।

(26) যদি কোনো বিভাজনের মধ্যমা $25$ হয় এবং প্রতিটি তথ্যের সাথে $4$ যোগ করা হয়, তবে নতুন মধ্যমা কত হবে?

(a) $29$ (b) $25$ (c) $21$ (d) $100$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

তথ্যের প্রতিটি উপাদানের সাথে নির্দিষ্ট সংখ্যা যোগ করলে মধ্যমার মানও ঠিক ততটাই বৃদ্ধি পায়।
নতুন মধ্যমা = $25 + 4 = 29$।

(27) $10$ জন ছাত্রের প্রাপ্ত নম্বরের গড় $45$। পরে দেখা গেল একজনের নম্বর $54$-এর স্থানে ভুল করে $45$ লেখা হয়েছে। সঠিক গড় কত?

(a) $45.9$ (b) $44.1$ (c) $46$ (d) $45.5$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

ভুল মোট নম্বর = $10 \times 45 = 450$।
নম্বরের পার্থক্য = $54 - 45 = 9$ (বৃদ্ধি পাবে)।
সঠিক মোট নম্বর = $450 + 9 = 459$।
অতএব, সঠিক গড় = $\frac{459}{10} = 45.9$।

(28) মধ্যমা শ্রেণির নিম্ন সীমানা $L = 30$, মোট পরিসংখ্যা $n = 60$, পূর্ববর্তী শ্রেণির ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা $c.f. = 22$, মধ্যমা শ্রেণির পরিসংখ্যা $f = 16$ এবং শ্রেণি দৈর্ঘ্য $h = 10$ হলে মধ্যমা কত?

(a) $35$ (b) $32.5$ (c) $37.5$ (d) $40$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

এখানে $\frac{n}{2} = \frac{60}{2} = 30$।
$\text{Median} = L + \left(\frac{\frac{n}{2} - c.f.}{f}\right) \times h$
$\text{Median} = 30 + \left(\frac{30 - 22}{16}\right) \times 10 = 30 + \left(\frac{8}{16}\right) \times 10 = 30 + 5 = 35$।

(29) যদি $1, 2, 3, \dots, n$-এর গড় $\frac{3n}{5}$ হয়, তবে $n$-এর মান কত?

(a) $3$ (b) $5$ (c) $7$ (d) $9$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

প্রথম $n$ টি স্বাভাবিক সংখ্যার গড় = $\frac{n+1}{2}$।
প্রশ্নানুসারে, $\frac{n+1}{2} = \frac{3n}{5}$
$\implies 5(n+1) = 6n \implies 5n + 5 = 6n \implies n = 5$।

(30) নিচের কোনটি লেখচিত্রের মাধ্যমে নির্ণয় করা সম্ভব নয়?

(a) যৌগিক গড় (Mean) (b) মধ্যমা (Median) (c) সংখ্যাগুরুমান (Mode) (d) (b) ও (c) উভয়ই

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

ওজাইভের সাহায্যে মধ্যমা এবং আয়তলেখের সাহায্যে সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় করা গেলেও, **যৌগিক গড় (Mean)** লেখচিত্রের সাহায্যে সরাসরি নির্ণয় করা যায় না।

2