বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য MCQ Set

  বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য অধ্যায়টি মাধ্যমিক গণিতের অন্যতম গুরুত্বপূর্ণ অধ্যায়। এই অধ্যায় থেকে প্রতি বছরই বিভিন্ন ধরনের MCQ, সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন এবং উপপাদ্যভিত্তিক প্রশ্ন পরীক্ষায় আসে। তাই শুধু উপপাদ্য মুখস্থ করলেই হবে না, প্রতিটি ধারণা ভালোভাবে বুঝে প্রচুর প্রশ্নের অনুশীলন করতে হবে।

সেই উদ্দেশ্যেই আমি এই অধ্যায়ের ওপর মোট 8 টি MCQ Set তৈরি করেছি। প্রতিটি সেটে রয়েছে 10 টি করে সম্পূর্ণ নতুন, মানসম্পন্ন এবং পরীক্ষা-উপযোগী বহুনির্বাচনী প্রশ্ন। প্রশ্নগুলো এমনভাবে সাজানো হয়েছে যাতে সহজ থেকে কঠিন—সব ধরনের প্রশ্নের অনুশীলন একসঙ্গে করা যায়। প্রতিটি প্রশ্নের সঙ্গে সঠিক উত্তর এবং সংক্ষিপ্ত ব্যাখ্যাও রয়েছে, যাতে তুমি শুধু উত্তরই না জানো, বরং তার পেছনের ধারণাটিও পরিষ্কারভাবে বুঝতে পারো।

আমার পরামর্শ, প্রতিটি সেট একটি ছোট মক টেস্টের মতো সমাধান করো। প্রথমে কোনো উত্তর না দেখে নিজে চেষ্টা করবে। তারপর উত্তর ও ব্যাখ্যার সঙ্গে মিলিয়ে নিজের ভুলগুলো খুঁজে বের করবে। এভাবে নিয়মিত অনুশীলন করলে পরীক্ষার হলে প্রশ্ন দেখে দ্বিধায় পড়তে হবে না এবং আত্মবিশ্বাসের সঙ্গে সঠিক উত্তর করতে পারবে।

এই টি MCQ Set সম্পূর্ণ করার পর তুমি বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য অধ্যায়ের প্রায় সব গুরুত্বপূর্ণ ধারণা, উপপাদ্য এবং সম্ভাব্য প্রশ্নের সঙ্গে পরিচিত হয়ে যাবে। তাই প্রতিটি সেট মনোযোগ দিয়ে সমাধান করো এবং নিজের প্রস্তুতিকে আরও শক্তিশালী করে তোলো।

বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য (Tangent to a Circle) — সেট 1

মাধ্যমিক দশম শ্রেণী — সরল ও তির্যক সাধারণ স্পর্শক এবং স্পর্শকের জ্যামিতিক ধর্মের ১০টি অনন্য MCQ 

1. একটি বৃত্তের ওপর অবস্থিত কোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক এবং স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের মধ্যবর্তী কোণের মান সর্বদা কত হয়?

 45°  60°  90°  180°

2. 5 cm ব্যাসার্ধযুক্ত একটি বৃত্তের কেন্দ্র O থেকে 13 cm দূরে অবস্থিত একটি বহিস্থ বিন্দু P থেকে বৃত্তটিতে একটি স্পর্শক PT অঙ্কন করা হলো। স্পর্শক PT এর দৈর্ঘ্য কত হবে?

 12 cm  8 cm  √194 cm  14 cm

3. দুটি বৃত্ত যদি পরস্পরকে বহিস্পর্শ (Touch externally) করে, তবে বৃত্ত দুটির সর্বাধিক কয়টি সাধারণ স্পর্শক (Common Tangent) অঙ্কন করা সম্ভব?

 1টি  2টি  3টি  4টি

4. একটি বৃত্তের বহিস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তটিতে সর্বাধিক কয়টি স্পর্শক অঙ্কন করা যায় এবং তাদের দৈর্ঘ্য কেমন হয়?

 ১টি স্পর্শক অঙ্কন করা যায়  দুটি স্পর্শক অঙ্কন করা যায় এবং তারা দৈর্ঘ্যে অসমান হয়  দুটি স্পর্শক অঙ্কন করা যায় এবং তারা দৈর্ঘ্যে সমান হয়  অসংখ্য স্পর্শক অঙ্কন করা যায়

5. O কেন্দ্রযুক্ত একটি বৃত্তের বহিস্থ বিন্দু P থেকে অঙ্কিত দুটি স্পর্শক PA এবং PB বৃত্তকে যথাক্রমে A ও B বিন্দুতে স্পর্শ করে। যদি ∠APB = 70° হয়, তবে কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOB এর মান কত?

 70°  110°  140°  35°

6. দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 8 cm এবং 3 cm। যদি তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব 13 cm হয়, তবে বৃত্ত দুটির সরল সাধারণ স্পর্শকের (Direct Common Tangent) দৈর্ঘ্য কত হবে?

 12 cm  11 cm  √194 cm  5 cm

7. একটি চতুর্ভুজ ABCD একটি বৃত্তকে পরিলিখিত (Circumscribed) করেছে (অর্থাৎ বৃত্তটি চতুর্ভুজের ৪টি বাহুকেই স্পর্শ করে)। যদি AB = 6 cm, BC = 7 cm এবং CD = 4 cm হয়, তবে DA বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

 5 cm  3 cm  4 cm  6 cm

8. দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 4 cm এবং 3 cm। কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব 25 cm হলে, তাদের তির্যক সাধারণ স্পর্শকের (Transverse Common Tangent) দৈর্ঘ্য কত হবে?

 20 cm  24 cm  22 cm  √618 cm

9. O কেন্দ্রযুক্ত বৃত্তের বহিস্থ বিন্দু P থেকে অঙ্কিত স্পর্শক বৃত্তকে T বিন্দুতে স্পর্শ করে। PT জ্যা-এর সমান্তরাল একটি সরলরেখা বৃত্তকে R বিন্দুতে স্পর্শ করলে, ΔPTR সর্বদা কী ধরণের ত্রিভুজ হবে?

 বিষমবাহু ত্রিভুজ  সমকোণী ত্রিভুজ  সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ  সমবাহু ত্রিভুজ

10. দুটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ (Touch internally) করলে, বৃত্ত দুটির সাধারণ স্পর্শকের সংখ্যা কয়টি হবে?

 0টি  1টি  2টি  3টি

বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য (Tangent to a Circle) — সেট 2

মাধ্যমিক দশম শ্রেণী — একান্তর বৃত্তাংশস্থ কোণ, স্পর্শক-ছেদক উপপাদ্য ও স্পর্শকের জ্যামিতিক ধর্মের ১০টি অনন্য MCQ 

1. O কেন্দ্রযুক্ত একটি বৃত্তের বহিস্থ বিন্দু P থেকে বৃত্তে PT একটি স্পর্শক এবং PAB একটি ছেদক (Secant) যা বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করে। যদি PA = 4 cm এবং PB = 9 cm হয়, তবে স্পর্শক PT এর দৈর্ঘ্য কত হবে?

 5 cm  6 cm  6.5 cm  36 cm

2. O কেন্দ্রযুক্ত বৃত্তের T বিন্দুতে PT একটি স্পর্শক। যদি বৃত্তের একটি জ্যা (Chord) AB স্পর্শক PT এর সমান্তরাল হয় এবং ∠AOB = 80° হয়, তবে ∠BAT এর মান কত?

 40°  80°  50°  100°

3. দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 9 cm এবং 4 cm। বৃত্ত দুটি পরস্পরকে বহিস্পর্শ (Touch externally) করলে, তাদের সরল সাধারণ স্পর্শকের (Direct Common Tangent) দৈর্ঘ্য কত হবে?

 12 cm  13 cm  6 cm  5 cm

4. O কেন্দ্রযুক্ত বৃত্তের P বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকটি বর্ধিত ব্যাস AB কে T বিন্দুতে ছেদ করে। যদি ∠BPT = 30° হয়, তবে ∠PTA এর মান কত?

 30°  60°  45°  15°

5. একান্তর বৃত্তাংশস্থ কোণের উপপাদ্য (Alternative Segment Theorem) অনুযায়ী, বৃত্তের কোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক এবং সেই বিন্দুগামী কোনো জ্যা-এর মধ্যবর্তী কোণ কার সমান হয়?

 উক্ত জ্যা দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণের সমান  উক্ত জ্যা-এর বিপরীত একান্তর বৃত্তাংশে অবস্থিত যেকোনো বৃত্তস্থ কোণের সমান  সর্বদা 90° এর সমান  স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের সমান

6. O কেন্দ্রযুক্ত বৃত্তের বহিস্থ বিন্দু A থেকে অঙ্কিত দুটি স্পর্শক AP এবং AQ বৃত্তকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে স্পর্শ করে। যদি ∠POQ = 120° হয়, তবে ΔAPQ ত্রিভুজটি কী ধরণের ত্রিভুজ?

 সমকোণী ত্রিভুজ  সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ কিন্তু সমবাহু নয়  সমবাহু ত্রিভুজ (Equilateral Triangle)  বিষমবাহু ত্রিভুজ

7. দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 7 cm এবং 2 cm এবং তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব 13 cm। বৃত্ত দুটির তির্যক সাধারণ স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত হবে?

 12 cm  10 cm  √194 cm  8.5 cm

8. ওপরে বর্ণিত চিত্র অনুযায়ী, O কেন্দ্রযুক্ত বৃত্তের বহিস্থ বিন্দু P থেকে অঙ্কিত দুটি স্পর্শক PA এবং PB বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে স্পর্শ করে। OP সরলরেখা AB জ্যা-কে ওপরে লম্বভাবে D বিন্দুতে ছেদ করলে, নিচের কোন সম্পর্কটি সঠিক?

 OA² = OD × OP  PA² = PD × OP  AD² = OD × DP  ওপারের সবকটি সম্পর্কই সঠিক

9. একটি বৃত্তের কেন্দ্র O এবং ব্যাসার্ধ 6 cm। বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 10 cm দূরে অবস্থিত একটি বিন্দু A থেকে বৃত্তে একটি স্পর্শক AB টানা হলো। ΔAOB এর ক্ষেত্রফল কত হবে?

 48 sq.cm  24 sq.cm  30 sq.cm  60 sq.cm

10. দুটি বৃত্ত যদি পরস্পরকে কোনো বিন্দুতে স্পর্শ না করে এবং একটি বৃত্ত অপর বৃত্তের সম্পূর্ণ বাইরে অবস্থিত থাকে, তবে বৃত্ত দুটির মোট সাধারণ স্পর্শকের (Common Tangents) সংখ্যা কত?

 2টি  3টি  4টি  অসংখ্য

বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য (Tangent to a Circle) — সেট 3

মাধ্যমিক দশম শ্রেণী — স্পর্শক, অন্তর্বৃত্তের ধর্ম এবং সাধারণ স্পর্শক সংক্রান্ত ১০টি নতুন MCQ 

1. O কেন্দ্রযুক্ত একটি বৃত্তের বহিস্থ বিন্দু P থেকে বৃত্তে দুটি স্পর্শক PA এবং PB টানা হলো। যদি ∠APB = 50° হয়, তবে ∠OAB এর মান কত হবে?

 25°  50°  40°  65°

2. একটি সমকোণী ΔABC এর অতিভুজ BC = 13 cm, AB = 5 cm এবং AC = 12 cm। ত্রিভুজটির অন্তর্বৃত্তের (Incircle) ব্যাসার্ধ কত হবে?

 3 cm  2 cm  2.5 cm  4 cm

3. একটি চতুর্ভুজ ABCD একটি বৃত্তকে সম্পূর্ণভাবে পরিলিখিত (Circumscribed) করেছে, অর্থাৎ বৃত্তটি চতুর্ভুজের চারটিকে বাহুকে স্পর্শ করে আছে। যদি AB = 6 cm, BC = 7 cm এবং CD = 4 cm হয়, তবে AD বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

 5 cm  3 cm  6 cm  4.5 cm

4. দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 8 cm এবং 3 cm। বৃত্ত দুটি পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ (Touch internally) করলে, তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত হবে?

 11 cm  5 cm  5.5 cm  √73 cm

5. দুটি বৃত্ত পরস্পরকে কোনো বিন্দুতে ছেদ বা স্পর্শ না করে একটি বৃত্ত অপর বৃত্তের ভেতরে অবস্থান করলে (কিন্তু এককেন্দ্রীয় নয়), তাদের সাধারণ স্পর্শকের সংখ্যা কত?

 1টি  2টি  0টি  3টি

6. O কেন্দ্রযুক্ত একটি বৃত্তের P বিন্দুতে PT একটি স্পর্শক। বৃত্তের ব্যাস AB কে বর্ধিত করলে তা স্পর্শককে T বিন্দুতে ছেদ করে। যদি ∠BTA = 28° হয়, তবে ∠BPT এর মান কত হবে?

 31°  62°  28°  45°

7. O কেন্দ্রযুক্ত বৃত্তের বহিস্থ একটি বিন্দু A থেকে বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকটি বৃত্তকে B বিন্দুতে স্পর্শ করে। OB = 5 cm এবং OA = 13 cm হলে, স্পর্শক AB এর দৈর্ঘ্য কত?

 12 cm  8 cm  √194 cm  14 cm

8. দুটি বৃত্ত পরস্পরকে P বিন্দুতে বহিস্পর্শ করেছে। বৃত্ত দুটির একটি সরল সাধারণ স্পর্শক বৃত্ত দুটিকে যথাক্রমে A ও B বিন্দুতে স্পর্শ করলে, ∠APB এর মান সর্বদা কত ডিগ্রি হবে?

 60°  45°  90°  120°

9. একটি বৃত্তের AB এবং CD দুটি জ্যা পরস্পরকে বৃত্তের অভ্যন্তরে P বিন্দুতে ছেদ করেছে। P বিন্দুতে কোনো স্পর্শক নেই। জ্যামিতিক ছেদক ধর্ম অনুযায়ী নিচের কোন সম্পর্কটি সত্য?

 PA × PB = PC × PD  PA × PC = PB × PD  PA + PB = PC + PD  PA² = PC × PD

10. O কেন্দ্রযুক্ত বৃত্তের বহিস্থ বিন্দু P থেকে অঙ্কিত দুটি স্পর্শক PA এবং PB। যদি ∠AOB এবং ∠APB এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করতে বলা হয়, তবে তাদের যোগফল কত হবে?

 90°  180°  270°  360°

বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য (Tangent to a Circle) — সেট 4

মাধ্যমিক দশম শ্রেণী — সমান্তরাল স্পর্শক, ছেদবিন্দুর অবস্থান ও জ্যামিতিক ধর্মের ১০টি নতুন MCQ 

1. 5 cm ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্তের দুটি সমান্তরাল স্পর্শকের (Parallel Tangents) মধ্যে দূরত্ব কত হবে?

 5 cm  10 cm  2.5 cm  7.5 cm

2. O কেন্দ্রযুক্ত বৃত্তের বহিস্থ একটি বিন্দু P থেকে অঙ্কিত স্পর্শক বৃত্তকে T বিন্দুতে স্পর্শ করে। যদি PT = OT হয়, তবে ∠POT এর মান কত ডিগ্রি?

 30°  45°  60°  90°

3. দুটি বৃত্ত পরস্পরকে C বিন্দুতে বহিস্পর্শ করেছে। AB বৃত্ত দুটির একটি সাধারণ স্পর্শক। যদি স্পর্শবিন্দু C থেকে AB এর ওপর একটি লম্ব CP টানা হয় এবং CP = 4 cm হয়, তবে সাধারণ স্পর্শক AB এর দৈর্ঘ্য কত হবে?

 4 cm  6 cm  8 cm  16 cm

4.  বৃত্তের কোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক এবং স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের মধ্যবর্তী কোণটি হলো একটি—

 সূক্ষ্মকোণ  স্থূলকোণ  সমকোণ  সরলকোণ

5. দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে R এবং r। বৃত্তদুটি পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করলে তাদের সাধারণ স্পর্শকের সংখ্যা কয়টি হতে পারে?

 1টি  2টি  3টি  একটিও নয়

6. O কেন্দ্রযুক্ত বৃত্তের বহিস্থ বিন্দু P থেকে অঙ্কিত দুটি স্পর্শক PA এবং PB বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে স্পর্শ করে। যদি ∠APB = 60° হয় এবং বৃত্তের ব্যাসার্ধ 3 cm হয়, তবে স্পর্শক PA এর দৈর্ঘ্য কত হবে?

 3 cm  3√3 cm  6 cm  2√3 cm

7. O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের AB জ্যা-এর A বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকটি বর্ধিত CO ব্যাসার্ধকে T বিন্দুতে ছেদ করে (C পরিধির ওপর একটি বিন্দু)। যদি ∠ATC = 36° হয়, তবে ∠ACT এর মান কত?

 54°  27°  36°  45°

8. কোনো বৃত্তের একটি নির্দিষ্ট বহিস্থ বিন্দু থেকে বৃত্তের ওপর সর্বাধিক কয়টি স্পর্শক অঙ্কন করা সম্ভব?

 1টি  2টি  3টি  অসংখ্য

9. O কেন্দ্র বিশিষ্ট একটি বৃত্তের P বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকটি XY। যদি A বৃত্তের অভ্যন্তরে একটি বিন্দু হয়, তবে ∠APX এর মান সর্বদা কেমন হবে?

 90° এর সমান  90° এর চেয়ে কম (সূক্ষ্মকোণ)  90° এর চেয়ে বেশি (স্থূলকোণ)  বিন্দুটির সুনির্দিষ্ট অবস্থানের ওপর নির্ভর করবে

10. সমকন্দ্রিয় দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 5 cm এবং 3 cm। বৃহত্তর বৃত্তের যে জ্যা-টি ক্ষুদ্রতর বৃত্তকে স্পর্শ করে, তার দৈর্ঘ্য কত হবে?

 4 cm  6 cm  8 cm  10 cm

বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য (Tangent to a Circle) — সেট 5

মাধ্যমিক দশম শ্রেণী — একান্তর বৃত্তাংশস্থ কোণ, ছেদক-স্পর্শক ধর্ম ও জ্যামিতিক প্রয়োগের ১০টি নতুন MCQ 

1. O কেন্দ্রযুক্ত বৃত্তের P বিন্দুতে PT একটি স্পর্শক এবং AB একটি জ্যা। যদি স্পর্শক PT, জ্যা AB এর সমান্তরাল হয়, তবে ΔPAB ত্রিভুজটি কী ধরণের ত্রিভুজ হবে?

 সমকোণী ত্রিভুজ  সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ  সমবাহু ত্রিভুজ  বিষমবাহু ত্রিভুজ

2. একটি বৃত্তের বহিস্থ বিন্দু P থেকে অঙ্কিত একটি ছেদক (Secant) বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করে এবং P থেকে অঙ্কিত স্পর্শকটি বৃত্তকে T বিন্দুতে স্পর্শ করে। যদি PA = 4 cm এবং PB = 9 cm হয়, তবে স্পর্শক PT এর দৈর্ঘ্য কত হবে?

 5 cm  6 cm  6.5 cm  36 cm

3. দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 5 cm এবং 2 cm। যদি বৃত্ত দুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব 3 cm হয়, তবে বৃত্ত দুটির সাধারণ স্পর্শকের (Common Tangents) সংখ্যা কয়টি?

 1টি  2টি  3টি  4টি

4. বৃত্তের কোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক এবং সেই বিন্দুগামী একটি জ্যা-এর মধ্যবর্তী কোণ, উক্ত কোণের একান্তর বৃত্তাংশস্থ কোণের (Angle in the Alternate Segment) সাথে কেমন সম্পর্কযুক্ত?

 সমান  অর্ধেক  দ্বিগুণ  পূরক কোণ

5. O কেন্দ্রযুক্ত বৃত্তের বহিস্থ বিন্দু P থেকে অঙ্কিত দুটি স্পর্শক PA এবং PB বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে স্পর্শ করে। যদি ∠AOB = 130° হয়, তবে ত্রিভুজ ΔPAB এর ∠PAB কোণটির মান কত হবে?

 50°  65°  25°  75°

6. দুটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিস্পর্শও করে না আবার ছেদও করে না (একটি অপরটির বাইরে অবস্থিত)। বৃত্ত দুটির তির্যক সাধারণ স্পর্শকের (Transverse Common Tangent) সংখ্যা কয়টি?

 1টি  2টি  3টি  4টি

7. O কেন্দ্রযুক্ত একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 6 cm। বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 10 cm দূরে অবস্থিত একটি বিন্দু P থেকে বৃত্তে একটি স্পর্শক PT টানা হলো। ওপি (OP) রেখাংশ বৃত্তটিকে R বিন্দুতে ছেদ করলে, PR এর দৈর্ঘ্য কত?

 4 cm  8 cm  2 cm  3 cm

8. ABC একটি ত্রিভুজ একটি বৃত্তে অন্তর্লিখিত আছে। A বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকটি বর্ধিত BC বাহুকে T বিন্দুতে ছেদ করে। যদি ∠TAB = 40° এবং ∠ABC = 80° হয়, তবে ∠ATB এর মান কত?

 40°  20°  30°  60°

9. O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের AB ব্যাস। A বিন্দুতে একটি স্পর্শক টানা হলো এবং পরিধির ওপর C যেকোনো একটি বিন্দু। যদি BC রেখাংশ স্পর্শককে T বিন্দুতে ছেদ করে, তবে ∠ATC এবং ∠ACO এর মধ্যে সম্পর্ক কী?

 তারা পরস্পর সমান  তারা পরস্পর পূরক (যোগফল 90°)  তারা পরস্পর সম্পূরক (যোগফল 180°)  কোনো সম্পর্ক নেই

10. দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 9 cm এবং 4 cm। বৃত্ত দুটি পরস্পরকে বহিস্পর্শ করলে, তাদের সরল সাধারণ স্পর্শকের (Direct Common Tangent) দৈর্ঘ্য কত হবে?

 13 cm  5 cm  12 cm  6 cm

বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য (Tangent to a Circle) — সেট 6

মাধ্যমিক দশম শ্রেণী — তির্যক স্পর্শকের দৈর্ঘ্য, বৃত্তকলা ও স্পর্শবিন্দুর ধর্মের ১০টি একদম নতুন MCQ 

1. O কেন্দ্রযুক্ত একটি বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P থেকে বৃত্তে দুটি স্পর্শক PA এবং PB টানা হলো। বৃত্তের পরিধির ওপর অবস্থিত যেকোনো বিন্দু C-তে অঙ্কিত স্পর্শকটি PA এবং PB কে যথাক্রমে D এবং E বিন্দুতে ছেদ করে। যদি PA = 14 cm হয়, তবে ΔPDE ত্রিভুজটির পরিসীমা (Perimeter) কত হবে?

 14 cm  21 cm  28 cm  7 cm

2. দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 7 cm এবং 2 cm। বৃত্ত দুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব 13 cm হলে, তাদের তির্যক সাধারণ স্পর্শকের (Transverse Common Tangent) দৈর্ঘ্য কত হবে?

 12 cm  9.4 cm  8 cm  10 cm

3. একটি বৃত্তের কেন্দ্র O এবং ব্যাসার্ধ r। বৃত্তের বাইরে একটি বিন্দু P এমনভাবে অবস্থিত যে OP = 2r। P বিন্দু থেকে বৃত্তে দুটি স্পর্শক টানা হলে তাদের মধ্যবর্তী কোণ ∠APB এর মান কত হবে?

 30°  45°  60°  90°

4. একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ΔABC এর AB = AC। ত্রিভুজটির অন্তর্বৃত্তটি BC বাহুকে P বিন্দুতে স্পর্শ করে। নিচের কোন সম্পর্কটি সর্বদা সত্য?

 BP > PC  BP < PC  BP = PC (অর্থাৎ P, BC এর মধ্যবিন্দু)  বাহুগুলির দৈর্ঘ্যের ওপর নির্ভর করবে

5. O কেন্দ্রযুক্ত বৃত্তের বহিস্থ বিন্দু P থেকে বৃত্তে PA একটি স্পর্শক (A স্পর্শবিন্দু)। PAB একটি ছেদক যা বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে নয়, বরং বৃত্তকে B ও C বিন্দুতে ছেদ করে। যদি PA = 8 cm এবং PB = 4 cm হয়, তবে জ্যা BC এর দৈর্ঘ্য কত?

 16 cm  12 cm  8 cm  4 cm

6. দুটি সমকেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে R এবং r (R > r)। বৃহত্তর বৃত্তের একটি জ্যা ক্ষুদ্রতর বৃত্তের স্পর্শক হলে, সেই জ্যা-এর দৈর্ঘ্য নিচের কোন রাশির সমান?

 √(R² - r²)  2√(R² - r²)  2√(R² + r²)  R - r

7. O কেন্দ্রযুক্ত একটি বৃত্তের A বিন্দুতে একটি স্পর্শক টানা হলো। বৃত্তের ব্যাস BC কে বর্ধিত করলে তা স্পর্শককে P বিন্দুতে ছেদ করে। যদি ∠ABC = 22° হয়, তবে ∠APC এর মান কত হবে?

 44°  46°  68°  22°

8. দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 6 cm এবং 4 cm। বৃত্ত দুটি পরস্পরকে বহিস্পর্শ করলে, তাদের সরল সাধারণ স্পর্শকের মধ্যবর্তী স্পর্শবিন্দু দুটির দূরত্ব কত?

 10 cm  4√6 cm  2√10 cm  2√6 cm

9. কোনো বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শক খণ্ডটি (Tangent segment) স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের সাথে যে সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে, তার অতিভুজটি সর্বদা কোন রেখাংশকে নির্দেশ করে?

 বৃত্তের ব্যাস  বৃত্তের জ্যা  কেন্দ্র থেকে বহিঃস্থ বিন্দুর দূরত্ব  স্পর্শকের দৈর্ঘ্য

10. O কেন্দ্রযুক্ত বৃত্তের বহিস্থ বিন্দু P থেকে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় PA এবং PB। যদি ওপি (OP) রেখাংশ বৃত্তটিকে পরিধির ওপর R বিন্দুতে ছেদ করে, তবে R বিন্দুটি ΔPAB ত্রিভুজের সাপেক্ষে কীসের অবস্থান নির্দেশ করবে?

 ভরকেন্দ্র (Centroid)  অন্তঃকেন্দ্র (Incenter)  পরিকেন্দ্র (Circumcenter)  লম্ববিন্দু (Orthocenter)

বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য (Tangent to a Circle) — সেট 7

মাধ্যমিক দশম শ্রেণী — ট্রাপিজিয়াম ধর্ম, বহিস্থ স্পর্শবিন্দুর অনুপাত ও জ্যামিতিক ১০টি অনন্য MCQ 

1. O কেন্দ্রযুক্ত একটি বৃত্তের বহিস্থ বিন্দু P থেকে অঙ্কিত স্পর্শক বৃত্তকে T বিন্দুতে স্পর্শ করে। বৃত্তের একটি জ্যা AB, স্পর্শক PT এর সমান্তরাল। যদি ∠PAT = 55° হয়, তবে বৃত্তস্থ কোণ ∠ABT এর মান কত হবে?

 35°  55°  70°  110°

2. দুটি বৃত্ত পরস্পরকে কোনো বিন্দুতে ছেদ বা স্পর্শ করে না (একটি অপরটির সম্পূর্ণ বাইরে অবস্থিত)। বৃত্ত দুটির কেন্দ্রদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশকে তাদের সরল সাধারণ স্পর্শক দুটি যে অনুপাতে বিভক্ত করে, তা নিচের কোনটির সমান?

 1 : 1 অনুপাতে  বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধের বর্গের অনুপাতে  বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধের ব্যাস্তানুপাতে  বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধের সরল অনুপাতে

3. একটি বৃত্তের AB ব্যাসের A ও B বিন্দুতে দুটি সমান্তরাল স্পর্শক টানা হলো। বৃত্তের পরিধির ওপর অবস্থিত যেকোনো বিন্দু C-তে অঙ্কিত অপর একটি স্পর্শক পূর্বের স্পর্শক দুটিকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করলে, ∠POQ এর মান কত ডিগ্রি হবে?

 45°  60°  90°  120°

4. একটি চতুর্ভুজ ABCD একটি বৃত্তকে বহিস্থভাবে স্পর্শ করে আছে (Circumscribed Quadrilateral)। যদি AB = 7 cm, BC = 8 cm এবং CD = 6 cm হয়, তবে DA বাহুর দৈর্ঘ্য কত হবে?

 5 cm  7 cm  9 cm  4 cm

5. O কেন্দ্রযুক্ত একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 5 cm। বৃত্তের বাইরে একটি বিন্দু P থেকে অঙ্কিত স্পর্শক PT এর দৈর্ঘ্য 12 cm। P থেকে বৃত্তের পরিধির ওপর অবস্থিত নিকটতম বিন্দুর দূরত্ব কত?

 13 cm  8 cm  7 cm  17 cm

6. দুটি বৃত্ত পরস্পরকে P বিন্দুতে বহিস্পর্শ করেছে। বৃত্ত দুটির একটি সরল সাধারণ স্পর্শক বৃত্ত দুটিকে যথাক্রমে A ও B বিন্দুতে স্পর্শ করলে, ∠APB কোণটির মান সর্বদা কত হবে?

 60°  45°  90°  120°

7. একটি বৃত্তের কেন্দ্র O। বহিস্থ বিন্দু P থেকে বৃত্তে টানা স্পর্শকদ্বয় PA এবং PB পরস্পর লম্ব (90°)। যদি প্রতিটি স্পর্শকের দৈর্ঘ্য 6 cm হয়, তবে বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত হবে?

 3 cm  6 cm  6√2 cm  3√2 cm

8. দুটি সমকেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 10 cm এবং 6 cm। বৃহত্তর বৃত্তের একটি জ্যা ক্ষুদ্রতর বৃত্তকে স্পর্শ করে। স্পর্শবিন্দু থেকে বৃহত্তর বৃত্তের যেকোনো একটি শীর্ষবিন্দুর (জ্যা-এর প্রান্তবিন্দু) দূরত্ব কত?

 4 cm  8 cm  16 cm  6 cm

9. O কেন্দ্রযুক্ত বৃত্তের বহিস্থ বিন্দু P থেকে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় PA এবং PB। ওপি (OP) রেখাংশ জ্যা AB কে R বিন্দুতে ছেদ করে। ওআর (OR) রেখাংশের দৈর্ঘ্য ৪ একক এবং পিআর (PR) রেখাংশের দৈর্ঘ্য ২ একক হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত একক?

 4 একক  4√5 একক  2√10 একক  4√2 একক

10. কোনো বৃত্তের একটি জ্যা AB এবং A বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক PA। যদি জ্যা AB বৃত্তের কেন্দ্রে 100° কোণ উৎপন্ন করে, তবে ∠PAB এর মান কত হবে?

 40°  50°  80°  100°

বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য (Tangent to a Circle) — সেট 8

মাধ্যমিক দশম শ্রেণী — সাধারণ জ্যা-স্পর্শক সম্পর্ক, বৃত্তকলা কোণ ও জ্যামিতিক প্রয়োগের ১০টি একদম নতুন MCQ 

1. O কেন্দ্রযুক্ত একটি বৃত্তের বহিস্থ বিন্দু P থেকে অঙ্কিত দুটি স্পর্শক PA এবং PB পরস্পরকে 60° কোণে ছেদ করে। যদি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 5 cm হয়, তবে বহিস্থ বিন্দু P থেকে জ্যা AB এর লম্ব দূরত্ব কত হবে?

 2.5 cm  5 cm  7.5 cm  3.5 cm

2. দুটি বৃত্ত পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করে। AB জ্যা-এর বর্ধিতাংশের ওপর অবস্থিত যেকোনো বিন্দু P থেকে বৃত্ত দুটিতে যথাক্রমে PT এবং PS দুটি স্পর্শক টানা হলো। PT এবং PS এর দৈর্ঘ্যের মধ্যে সম্পর্ক কী হবে?

 PT > PS  PT < PS  PT = PS  বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধের ওপর নির্ভর করবে

3. O কেন্দ্রযুক্ত বৃত্তের বহিস্থ বিন্দু P থেকে অঙ্কিত স্পর্শকটি বৃত্তকে T বিন্দুতে স্পর্শ করে। P বিন্দু থেকে বৃত্তের কেন্দ্রের দূরত্ব (OP) যদি স্পর্শকের দৈর্ঘ্য (PT) অপেক্ষা 2 cm বেশি হয় এবং বৃত্তের ব্যাসার্ধ r cm হয়, তবে নিচের কোনটি সত্য?

 r² = 4(PT + 1)  PT = (r² - 4) / 4  PT = (r² + 4) / 4  r² = PT² + 4

4. দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 8 cm এবং 3 cm। বৃত্ত দুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব 13 cm হলে, তাদের সরল সাধারণ স্পর্শকের (Direct Common Tangent) দৈর্ঘ্য কত হবে?

 12 cm  10 cm  √194 cm  5 cm

5. O কেন্দ্রযুক্ত বৃত্তের পরিধির ওপর A ও B দুটি বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে জ্যা AB = 6 cm। A ও B বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করে। যদি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 5 cm হয়, তবে AP স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত হবে?

 3.75 cm  4.25 cm  4.75 cm  5.25 cm

6. একটি সমকোণী ত্রিভুজ ΔABC এর ∠B = 90°। AB = 6 cm এবং BC = 8 cm হলে, ত্রিভুজটির অন্তর্বৃত্তের (Incircle) ব্যাসার্ধ কত সেমি হবে?

 1 cm  2 cm  3 cm  4 cm

7. O কেন্দ্র বিশিষ্ট একটি বৃত্তের বহিস্থ বিন্দু P থেকে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় PA এবং PB বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে স্পর্শ করে। যদি ∠APB = 72° হয়, তবে বৃত্তস্থ কোণ ∠AQB (যেখানে Q বৃত্তের দীর্ঘতম চাপের ওপর অবস্থিত একটি বিন্দু) এর মান কত?

 54°  72°  108°  36°

8. দুটি বৃত্ত পরস্পরকে P বিন্দুতে অন্তঃস্পর্শ করেছে। P বিন্দুতে বৃত্ত দুটির কতগুলি সাধারণ স্পর্শক (Common Tangent) অঙ্কন করা সম্ভব?

 1টি  2টি  3টি  একটিও নয়

9. O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের পরিধির ওপর A বিন্দুতে AT একটি স্পর্শক। বৃত্তের একটি জ্যা AB, স্পর্শকের সাথে ∠BAT = 65° কোণ উৎপন্ন করে। জ্যা AB বৃত্তের কেন্দ্রে যে প্রবৃদ্ধ কোণ (Reflex Angle) উৎপন্ন করে তার মান কত?

 130°  230°  260°  115°

10. অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ। যদি একটি বৃত্তের ব্যাসের একটি প্রান্তবিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক এবং অন্য প্রান্তবিন্দু থেকে অঙ্কিত একটি জ্যা পরস্পরকে বৃত্তের বাইরে T বিন্দুতে ছেদ করে, তবে স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ ও স্পর্শকের মধ্যবর্তী কোণটি সর্বদা কী প্রকারের কোণ হবে?

 সূক্ষ্মকোণ  স্থূলকোণ  সমকোণ (90°)  সরলকোণ