'ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল' নবম শ্রেণির গণিতের একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ অধ্যায়। এই অধ্যায় থেকে বিদ্যালয়ের বার্ষিক পরীক্ষা, ইউনিট টেস্ট এবং বিভিন্ন প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষায় নিয়মিত প্রশ্ন আসে।
শিক্ষার্থীদের অধ্যায়টির উপর দৃঢ় ধারণা গড়ে তুলতে এখানে ৫০টি গুরুত্বপূর্ণ বহুনির্বাচনী প্রশ্ন (MCQ) উত্তরসহ দেওয়া হয়েছে। প্রশ্নগুলি সর্বশেষ WBBSE পাঠ্যক্রম অনুসারে প্রস্তুত করা হয়েছে এবং সূত্রভিত্তিক, ধারণাভিত্তিক ও প্রয়োগভিত্তিক প্রশ্ন অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে। নিয়মিত অনুশীলনের মাধ্যমে আপনি পরীক্ষায় আরও ভালো ফল করার আত্মবিশ্বাস অর্জন করতে পারবেন।
নবম শ্রেণী: ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল (৩০টি অনুশীলনী প্রশ্ন)
বিস্তারিত বিশ্লেষণ:
ক্ষেত্রফল = \(\frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা} = \frac{1}{2} \times 12 \times 8 = 48\) বর্গ সেমি।
বিস্তারিত বিশ্লেষণ:
ক্ষেত্রফল = \(\frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 8^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 64 = 16\sqrt{3}\) বর্গ সেমি।
বিস্তারিত বিশ্লেষণ:
হেরনের সূত্রে \(s = \frac{a+b+c}{2}\), যা ত্রিভুজের অর্ধ-পরিসীমা (Semi-perimeter)।
বিস্তারিত বিশ্লেষণ:
\(s = \frac{13+14+15}{2} = 21\) সেমি।
ক্ষেত্রফল = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} = \sqrt{7056} = 84\) বর্গ সেমি।
বিস্তারিত বিশ্লেষণ:
উচ্চতা \(h = \sqrt{10^2 - (12/2)^2} = \sqrt{100 - 36} = 8\) সেমি।
ক্ষেত্রফল = \(\frac{1}{2} \times 12 \times 8 = 48\) বর্গ সেমি।
বিস্তারিত বিশ্লেষণ:
সমান বাহু \(a = \frac{\text{অতিভুজ}}{\sqrt{2}} = 10\) সেমি।
ক্ষেত্রফল = \(\frac{1}{2} \times a^2 = \frac{1}{2} \times 10^2 = 50\) বর্গ সেমি।
বিস্তারিত বিশ্লেষণ:
উচ্চতা \(\frac{\sqrt{3}}{2} a = 6\sqrt{3} \implies a = 12\) সেমি।
ক্ষেত্রফল = \(\frac{\sqrt{3}}{4} \times 12^2 = 36\sqrt{3}\) বর্গ সেমি।
বিস্তারিত বিশ্লেষণ:
\(3x + 4x + 5x = 36 \implies 12x = 36 \implies x = 3\)।
বাহুগুলি \(9\) সেমি, \(12\) সেমি ও \(15\) সেমি (সমকোণী ত্রিভুজ)।
ক্ষেত্রফল = \(\frac{1}{2} \times 9 \times 12 = 54\) বর্গ সেমি।
বিস্তারিত বিশ্লেষণ:
অতিভুজ = \(\sqrt{6^2 + 8^2} = 10\) সেমি।
ক্ষেত্রফল = \(\frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24\) বর্গ সেমি।
\(\frac{1}{2} \times 10 \times h = 24 \implies h = 4.8\) সেমি।
বিস্তারিত বিশ্লেষণ:
বাহু দ্বিগুণ হলে নতুন ক্ষেত্রফল মূল ক্ষেত্রফলের \(2^2 = 4\) গুণ হয়।
বৃদ্ধি = \(4 - 1 = 3\) গুণ = \(300\%\)।
বিস্তারিত বিশ্লেষণ:
সূত্র: \(\Delta = r \times s \implies 96 = r \times 24 \implies r = 4\) সেমি।
বিস্তারিত বিশ্লেষণ:
উপপাদ্য অনুসারে, একই ভূমি ও সমান্তরাল যুগলের মধ্যে অবস্থিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সামান্তরিকের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক হয়।
\(\therefore \frac{40}{2} = 20\) বর্গ সেমি।
বিস্তারিত বিশ্লেষণ:
ত্রিভুজের যেকোনো মধ্যমা ত্রিভুজটিকে সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট দুটি ত্রিভুজে বিভক্ত করে।
বিস্তারিত বিশ্লেষণ:
অন্তর্ব্যাসার্ধ \(r = \frac{a}{2\sqrt{3}}\)।
\(\therefore\) ক্ষেত্রফল = \(\pi r^2 = \pi \left(\frac{a}{2\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{12}\)।
বিস্তারিত বিশ্লেষণ:
\(\frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = 3a \implies \frac{\sqrt{3}}{4} a = 3 \implies a = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}\) একক।
বিস্তারিত বিশ্লেষণ:
মধ্যমা ক্ষেত্রফলকে অর্ধেক করে। \(\therefore \text{Area}(\triangle ABD) = \frac{36}{2} = 18\) বর্গ সেমি।
বিস্তারিত বিশ্লেষণ:
যেহেতু \(5^2 + 12^2 = 13^2\), এটি সমকোণী ত্রিভুজ।
পরিব্যাসার্ধ \(R = \frac{\text{অতিভুজ}}{2} = \frac{13}{2} = 6.5\) সেমি।
ক্ষেত্রফল = \(\pi \times (6.5)^2 = 42.25\pi\) বর্গ সেমি।
বিস্তারিত বিশ্লেষণ:
ক্ষেত্রফলের অনুপাত = বাহুর অনুপাতের বর্গ = \(4^2 : 9^2 = 16 : 81\)।
বিস্তারিত বিশ্লেষণ:
\(\frac{1}{2} a^2 = 32 \implies a^2 = 64 \implies a = 8\) সেমি।
অতিভুজ = \(a\sqrt{2} = 8\sqrt{2}\) সেমি।
বিস্তারিত বিশ্লেষণ:
পরিবর্তন = \(x + y + \frac{xy}{100} = 20 - 10 + \frac{20 \times (-10)}{100} = 10 - 2 = +8\%\) (বৃদ্ধি)।
বিস্তারিত বিশ্লেষণ:
মূল সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = \(\frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24\) বর্গ সেমি।
মধ্যবিন্দু যুক্ত করে গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল মূল ক্ষেত্রফলের \(\frac{1}{4}\) অংশ।
\(\therefore \frac{24}{4} = 6\) বর্গ সেমি।
বিস্তারিত বিশ্লেষণ:
ভরকেন্দ্র ত্রিভুজকে তিনটি সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট ত্রিভুজে বিভক্ত করে।
\(\therefore \text{Area}(\triangle GBC) = \frac{54}{3} = 18\) বর্গ সেমি।
বিস্তারিত বিশ্লেষণ:
\((s-a) + (s-b) + (s-c) = 3s - (a+b+c) = 3s - 2s = s\)।
\(\therefore s = 5 + 3 + 2 = 10\)।
ক্ষেত্রফল = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{10 \times 5 \times 3 \times 2} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}\) বর্গ একক।
বিস্তারিত বিশ্লেষণ:
ক্ষেত্রফল = \(\frac{1}{2} ab \sin\theta = \frac{1}{2} \times a \times a \times \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \times a^2 \times \frac{1}{2} = \frac{a^2}{4}\)।
বিস্তারিত বিশ্লেষণ:
হ্রাস = \(\left(\frac{r}{100+r} \times 100\right)\% = \left(\frac{20}{120} \times 100\right)\% = \frac{100}{6}\% = 16\frac{2}{3}\%\)।
বিস্তারিত বিশ্লেষণ:
ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধের প্রমিত সূত্র হল \(R = \frac{abc}{4A}\), যেখানে \(A\) ক্ষেত্রফল।
বিস্তারিত বিশ্লেষণ:
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = \(\frac{\sqrt{3}}{4} a^2\)।
পরিব্যাসার্ধ \(R = \frac{a}{\sqrt{3}}\)। পরিবৃত্তের ক্ষেত্রফল = \(\pi R^2 = \pi \frac{a^2}{3}\)।
অনুপাত = \(\frac{\sqrt{3}}{4} a^2 : \frac{\pi}{3} a^2 = 3\sqrt{3} : 4\pi\)।
বিস্তারিত বিশ্লেষণ:
উভয় ত্রিভুজের উচ্চতা একই (\(h = 8\))।
\(\therefore\) ক্ষেত্রফলের অনুপাত = ভূমির অনুপাত = \(10 : 16 = 5 : 8\)।
বিস্তারিত বিশ্লেষণ:
বাহুগুলি উচ্চতার ব্যস্তানুপাতিক: \(a : b : c = \frac{1}{12} : \frac{1}{15} : \frac{1}{20} = 5 : 4 : 3\)।
যেহেতু বাহুগুলির অনুপাত \(3 : 4 : 5\), তাই এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
বিস্তারিত বিশ্লেষণ:
সমকোণী ত্রিভুজে অতিভুজ \(c = 2R = 2 \times 5 = 10\) সেমি।
আমরা জানি, \(r = \frac{a+b-c}{2} \implies 2 = \frac{a+b-10}{2} \implies a+b = 14\)।
উভয়পক্ষে বর্গ করে: \((a+b)^2 = 196 \implies a^2 + b^2 + 2ab = 196\)।
যেহেতু \(a^2 + b^2 = c^2 = 100\), তাই \(100 + 2ab = 196 \implies 2ab = 96 \implies ab = 48\)।
\(\therefore\) ক্ষেত্রফল = \(\frac{1}{2} ab = \frac{48}{2} = 24\) বর্গ সেমি।
