ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য MCQ | নবম শ্রেণি গণিত | ৫০টি গুরুত্বপূর্ণ বহুনির্বাচনী প্রশ্ন ও উত্তর

 নবম শ্রেণির গণিতের "ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য" অধ্যায়টি জ্যামিতির একটি গুরুত্বপূর্ণ অংশ। এই অধ্যায় থেকে বিদ্যালয়ের পরীক্ষার পাশাপাশি বিভিন্ন বৃত্তি ও প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষায়ও প্রশ্ন আসে। 

শিক্ষার্থীদের ধারণা আরও শক্তিশালী করার জন্য এখানে ৫০টি গুরুত্বপূর্ণ বহুনির্বাচনী প্রশ্ন (MCQ) উত্তরসহ দেওয়া হয়েছে। প্রতিটি প্রশ্ন সর্বশেষ WBBSE পাঠ্যক্রম অনুযায়ী প্রস্তুত করা হয়েছে এবং নিয়মিত অনুশীলনের মাধ্যমে পরীক্ষায় ভালো ফল করতে সহায়তা করবে। এই MCQ সেটটি অধ্যায়ভিত্তিক পুনরাবৃত্তি, স্ব-মূল্যায়ন এবং দ্রুত প্রস্তুতির জন্য অত্যন্ত উপযোগী।

নবম শ্রেণী: ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য (50টি অনুশীলনী প্রশ্ন)

(1) কোনো ত্রিভুজের যেকোনো দুটি বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখাংশ তৃতীয় বাহুর—

(a) সমান ও সমান্তরাল (b) সমান্তরাল ও অর্ধেক (c) লম্ব ও অর্ধেক (d) দ্বিগুণ ও সমান্তরাল

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত মূল উপপাদ্য অনুযায়ী: ত্রিভুজের যেকোনো দুটি বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও অর্ধেক হয় ($DE \parallel BC$ এবং $DE = \frac{1}{2}BC$)।

(2) $\triangle ABC$-এর $AB$ ও $AC$ বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $D$ ও $E$। যদি $BC = 12\text{ cm}$ হয়, তবে $DE$-এর দৈর্ঘ্য কত?

(a) $6\text{ cm}$ (b) $24\text{ cm}$ (c) $12\text{ cm}$ (d) $3\text{ cm}$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

উপপাদ্যানুসারে, $DE = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \times 12\text{ cm} = 6\text{ cm}$।

(3) $\triangle ABC$-এর $AB$ ও $AC$ বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $X$ ও $Y$। যদি $XY + BC = 18\text{ cm}$ হয়, তবে $BC$-এর দৈর্ঘ্য কত?

(a) $6\text{ cm}$ (b) $12\text{ cm}$ (c) $9\text{ cm}$ (d) $15\text{ cm}$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

আমরা জানি $XY = \frac{1}{2} BC \implies BC = 2 XY$।
প্রদত্ত: $XY + BC = 18 \implies XY + 2XY = 18 \implies 3XY = 18 \implies XY = 6\text{ cm}$।
অতএব, $BC = 2 \times 6 = 12\text{ cm}$।

(4) তিন বা ততোধিক সমান্তরাল সরলরেখা যেকোনো ভেদক থেকে সমান সমান অংশ ছিন্ন করলে, অন্য যেকোনো ভেদক থেকেও—

(a) অসম অংশ ছিন্ন করবে (b) সমান সমান অংশ ছিন্ন করবে (c) লম্ব অংশ ছিন্ন করবে (d) কোনো অংশ ছিন্ন করবে না

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

এটি ভেদক সংক্রান্ত সমান্তরাল সরলরেখার বিপরীত/মূল উপপাদ্য। তিন বা ততোধিক সমান্তরাল সরলরেখা একটি ভেদক থেকে সমান অংশে বিভক্ত হলে অন্য সকল ভেদক থেকেও সমান সমান অংশ ছিন্ন করে।

(5) $\triangle ABC$-এর $AB$ বাহুর মধ্যবিন্দু $D$। $D$ বিন্দু দিয়ে $BC$-এর সমান্তরাল টানা সরলরেখা $AC$-কে $E$ বিন্দুতে ছেদ করল। তাহলে—

(a) $E$ হলো $AC$-এর মধ্যবিন্দু (b) $AE = 2 EC$ (c) $EC = 2 AE$ (d) $E$ বিন্দুটি $AC$-এর বাইরে অবস্থান করবে

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

উপপাদ্যানুসারে: ত্রিভুজের কোনো এক বাহুর মধ্যবিন্দু দিয়ে দ্বিতীয় বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা টানলে তা তৃতীয় বাহুকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। সুতরাং $E$ হলো $AC$-এর মধ্যবিন্দু।

(6) $\triangle ABC$-এর পরিসীমা $20\text{ cm}$। বাহুগুলির মধ্যবিন্দুগুলি যুক্ত করে গঠিত গঠিত ক্ষুদ্রতর ত্রিভুজের পরিসীমা কত?

(a) $20\text{ cm}$ (b) $10\text{ cm}$ (c) $5\text{ cm}$ (d) $40\text{ cm}$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

মধ্যবিন্দু যোগ করে গঠিত ত্রিভুজের প্রতিটি বাহু মূল ত্রিভুজের বাহুর অর্ধেক হয়।
সুতরাং, নতুন ত্রিভুজের পরিসীমা = $\frac{1}{2} \times \text{মূল ত্রিভুজের পরিসীমা} = \frac{1}{2} \times 20 = 10\text{ cm}$।

(7) যেকোনো চতুর্ভুজের বাহুগুলির মধ্যবিন্দুগুলি পরপর যুক্ত করলে কী গঠিত হয়?

(a) আয়তক্ষেত্র (b) বর্গক্ষেত্র (c) সামান্তরিক (d) ট্র্যাপিজিয়াম

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

যেকোনো চতুর্ভুজের বাহুগুলির মধ্যবিন্দু পরপর যুক্ত করলে সর্বদা একটি সামান্তরিক (Varignon's Theorem) উৎপন্ন হয়, কারণ বিপরীত বাহুগুলি কর্ণের সমান্তরাল ও অর্ধেক হয়।

(8) একটি রম্বসের বাহুগুলির মধ্যবিন্দুগুলি পরপর যুক্ত করলে কী উৎপন্ন হয়?

(a) আয়তক্ষেত্র (b) রম্বস (c) বর্গক্ষেত্র (d) ট্র্যাপিজিয়াম

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে ছেদ করে। তাই রম্বসের মধ্যবিন্দুগুলি যুক্ত করলে গঠিত সামান্তরিকের কোণগুলি $90^\circ$ হয়, অর্থাৎ এটি একটি আয়তক্ষেত্র।

(9) একটি আয়তক্ষেত্রের বাহুগুলির মধ্যবিন্দুগুলি পরপর যোগ করলে কী তৈরি হয়?

(a) বর্গক্ষেত্র (b) রম্বস (c) সামান্তরিক (d) ট্র্যাপিজিয়াম

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

আয়তক্ষেত্রের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য সমান। তাই মধ্যবিন্দু সংযোজক সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুগুলি সমান হয়, ফলে এটি একটি রম্বস গঠন করে।

(10) $\triangle ABC$-এর মধ্যমা $AD$। $AB$ ও $AC$-এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $E$ ও $F$। $EF$ সরলরেখাংশ $AD$-কে কীভাবে ছেদ করে?

(a) সমদ্বিখণ্ডিত করে (b) $1:2$ অনুপাতে বিভক্ত করে (c) সমকোণে ছেদ করে (d) ছেদ করে না

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

$\triangle ABD$-এ $E$ হলো $AB$-এর মধ্যবিন্দু এবং $EF \parallel BC$। সুতরাং $EF$ মধ্যমা $AD$-কে সমদ্বিখণ্ডিত করবে।

(11) $ABCD$ ট্র্যাপিজিয়ামের $AB \parallel DC$ এবং $AD$ ও $BC$-এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $E$ ও $F$। $AB = 10\text{ cm}$, $DC = 6\text{ cm}$ হলে $EF$-এর দৈর্ঘ্য কত?

(a) $8\text{ cm}$ (b) $16\text{ cm}$ (c) $4\text{ cm}$ (d) $12\text{ cm}$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

ট্র্যাপিজিয়ামের তীর্যক বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমান্তরাল এবং তাদের সমষ্টির অর্ধেক।
$EF = \frac{1}{2}(AB + DC) = \frac{1}{2}(10 + 6) = 8\text{ cm}$।

(12) $\triangle ABC$-এর $AB$, $BC$ ও $CA$ বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $P$, $Q$ ও $R$। $\triangle PQR$-এর ক্ষেত্রফল $\triangle ABC$-এর ক্ষেত্রফলের কত গুণ?

(a) $\frac{1}{2}$ (b) $\frac{1}{4}$ (c) $\frac{1}{3}$ (d) $\frac{1}{8}$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

ত্রিভুজের তিন বাহুর মধ্যবিন্দুগুলি যোগ করলে মূল ত্রিভুজটি ৪টি সর্বসম ক্ষুদ্র ত্রিভুজে বিভক্ত হয়।
অতএব, $\text{Area}(\triangle PQR) = \frac{1}{4} \times \text{Area}(\triangle ABC)$।

(13) $\triangle ABC$-এর $AB = 8\text{ cm}$, $BC = 10\text{ cm}$, $CA = 12\text{ cm}$। বাহুগুলির মধ্যবিন্দুদ্বয় দ্বারা গঠিত $\triangle DEF$-এর পরিসীমা কত?

(a) $15\text{ cm}$ (b) $30\text{ cm}$ (c) $20\text{ cm}$ (d) $10\text{ cm}$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

মূল ত্রিভুজের পরিসীমা = $8 + 10 + 12 = 30\text{ cm}$।
মধ্যবিন্দুগুলি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের পরিসীমা = $\frac{30}{2} = 15\text{ cm}$।

(14) $\triangle ABC$-এর $AB$ ও $AC$-এর মধ্যবিন্দু $D$ ও $E$। যদি $\angle ADE = 50^\circ$ এবং $\angle B = 50^\circ$ হয়, তবে $\angle C = 60^\circ$ হলে $\angle A$-এর মান কত?

(a) $70^\circ$ (b) $60^\circ$ (c) $50^\circ$ (d) $80^\circ$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

$\triangle ABC$-এর তিন কোণের সমষ্টি $180^\circ$।
$\angle A = 180^\circ - (\angle B + \angle C) = 180^\circ - (50^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$।

(15) $ABCD$ চতুর্ভুজের $AC = 16\text{ cm}$ এবং $BD = 12\text{ cm}$। চতুর্ভুজের বাহুগুলির মধ্যবিন্দু যোগ করে গঠিত সামান্তরিকের পরিসীমা কত?

(a) $56\text{ cm}$ (b) $28\text{ cm}$ (c) $14\text{ cm}$ (d) $32\text{ cm}$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

সামান্তরিকের বাহুগুলি কর্ণের অর্ধেক। বাহুগুলি হলো $\frac{AC}{2} = 8\text{ cm}$ এবং $\frac{BD}{2} = 6\text{ cm}$।
পরিসীমা = $2 \times (8 + 6) = 2 \times 14 = 28\text{ cm}$।

(16) কোনো বর্গক্ষেত্রের বাহুগুলির মধ্যবিন্দু পরপর যুক্ত করলে কোন্ চিত্রটি গঠিত হয়?

(a) বর্গক্ষেত্র (b) আয়তক্ষেত্র (c) রম্বস (d) সামান্তরিক

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

বর্গক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় সমান এবং পরস্পরকে সমকোণে ছেদ করে। তাই এর বাহুগুলির মধ্যবিন্দু যুক্ত করলে আবার একটি বর্গক্ষেত্র তৈরি হয়।

(17) $\triangle ABC$-এর $AB$ ও $AC$-এর মধ্যবিন্দু $D$ ও $E$। যদি $DE = (x + 2)$ এবং $BC = (3x - 1)$ হয়, তবে $x$-এর মান কত?

(a) 5 (b) 4 (c) 3 (d) 6

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

আমরা জানি, $BC = 2 \times DE$
$\implies 3x - 1 = 2(x + 2)$
$\implies 3x - 1 = 2x + 4$
$\implies 3x - 2x = 4 + 1 \implies x = 5$।

(18) $\triangle ABC$-এর $AB$ ও $AC$-এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $D$ ও $E$। $DE \parallel BC$ হলে $\triangle ADE$ ও $\triangle ABC$-এর উচ্চতার অনুপাত কত?

(a) $1 : 2$ (b) $1 : 4$ (c) $1 : 3$ (d) $2 : 3$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

যেহেতু $D$ ও $E$ মধ্যবিন্দু, $\triangle ADE$ ও $\triangle ABC$ সদৃশ এবং তাদের অনুরুপ বাহু ও উচ্চতার অনুপাত $1:2$ হয়।

(19) $L_1, L_2, L_3$ তিনটি সমান্তরাল সরলরেখা। একটি ভেদক $T_1$ এদের $A, B, C$ বিন্দুতে এমনভাবে ছেদ করে যে $AB = BC$। অন্য একটি ভেদক $T_2$ এদের $D, E, F$ বিন্দুতে ছেদ করলে $DE : EF$ কত?

(a) $1 : 1$ (b) $1 : 2$ (c) $2 : 1$ (d) $3 : 1$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

ভেদক সংক্রান্ত উপপাদ্যানুসারে, প্রথম ভেদকে সমান অংশ ছিন্ন হলে অন্য যেকোনো ভেদক থেকেও সমপরিমাণ অংশ ছিন্ন হয়। অর্থাৎ $DE = EF \implies DE : EF = 1 : 1$।

(20) সমদ্বিবাহু ট্র্যাপিজিয়ামের বাহুগুলির মধ্যবিন্দু যুক্ত করলে উৎপন্ন চিত্রটি কী হবে?

(a) বর্গক্ষেত্র (b) রম্বস (c) আয়তক্ষেত্র (d) সাধারণ সামান্তরিক

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

সমদ্বিবাহু ট্র্যাপিজিয়ামের কর্ণদ্বয় সমান দৈর্ঘ্যের হয়। সমান কর্ণের চতুর্ভুজের মধ্যবিন্দুগুলি যুক্ত করলে সর্বদা একটি রম্বস পাওয়া যায়।

(21) $\triangle ABC$-এর $AB$ ও $AC$ বাহুর মধ্যবিন্দু $D$ ও $E$। যদি $\triangle ABC$-এর ক্ষেত্রফল $36\text{ sq cm}$ হয়, তবে $\triangle ADE$-এর ক্ষেত্রফল কত?

(a) $9\text{ sq cm}$ (b) $18\text{ sq cm}$ (c) $12\text{ sq cm}$ (d) $6\text{ sq cm}$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

$\triangle ADE$-এর ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{4} \times \text{Area}(\triangle ABC) = \frac{1}{4} \times 36 = 9\text{ sq cm}$।

(22) $\triangle ABC$-এর $AB$ ও $AC$-এর মধ্যবিন্দু $D$ ও $E$। চতুর্ভুজ $DBCE$-এর ক্ষেত্রফল $27\text{ sq cm}$ হলে $\triangle ABC$-এর ক্ষেত্রফল কত?

(a) $36\text{ sq cm}$ (b) $54\text{ sq cm}$ (c) $48\text{ sq cm}$ (d) $32\text{ sq cm}$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

ধরি $\triangle ABC = A$। তাহলে $\triangle ADE = \frac{1}{4}A$।
ট্র্যাপিজিয়াম $DBCE = A - \frac{1}{4}A = \frac{3}{4}A$।
প্রদত্ত: $\frac{3}{4}A = 27 \implies A = \frac{27 \times 4}{3} = 36\text{ sq cm}$।

(23) একটি চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয় পরস্পর লম্ব। এর বাহুগুলির মধ্যবিন্দু পরপর যুক্ত করলে কী গঠিত হবে?

(a) আয়তক্ষেত্র (b) রম্বস (c) বর্গক্ষেত্র (d) সামান্তরিক

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

যে চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয় লম্ব, তার মধ্যবিন্দুগুলি যোগ করলে সৃষ্ট সামান্তরিকের কোণগুলি $90^\circ$ হয়, যা একটি আয়তক্ষেত্র।

(24) $\triangle ABC$-এর $BD$ ও $CE$ দুটি মধ্যমা। $P$ ও $Q$ যথাক্রমে $AB$ ও $AC$-এর মধ্যবিন্দু হলে $PQ$ ও $BC$-এর সম্পর্ক কী?

(a) $PQ \parallel BC$ এবং $PQ = \frac{1}{2}BC$ (b) $PQ \perp BC$ (c) $PQ = BC$ (d) $PQ = 2BC$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্যানুসারে, যেকোনো দুটি বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও অর্ধেক।

(25) $\triangle ABC$-এর $AB = 6\text{ cm}$, $BC = 8\text{ cm}$, $\angle B = 90^\circ$। $AB$ ও $BC$-এর মধ্যবিন্দু $D$ ও $E$ হলে $DE$-এর দৈর্ঘ্য কত?

(a) $5\text{ cm}$ (b) $10\text{ cm}$ (c) $7\text{ cm}$ (d) $4\text{ cm}$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, $AC = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = 10\text{ cm}$।
$D$ ও $E$ মধ্যবিন্দু হওয়ায়, $DE = \frac{1}{2} AC = \frac{10}{2} = 5\text{ cm}$।

(26) $ABCD$ সামান্তরিকের $E$ হলো $AD$-এর মধ্যবিন্দু। $E$ বিন্দু দিয়ে $AB$-এর সমান্তরাল টানা রেখা $BC$-কে $F$ বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে $BF : FC = $?

(a) $1 : 1$ (b) $1 : 2$ (c) $2 : 1$ (d) $3 : 1$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

সামান্তরিকের সমান্তরাল বাহুগুলির মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত ধর্ম অনুসারে $F$ হলো $BC$-এর মধ্যবিন্দু। তাই $BF : FC = 1 : 1$।

(27) $\triangle ABC$-এর $AB$ বাহুর মধ্যবিন্দু $D$। $D$ দিয়ে $BC$-এর সমান্তরাল রেখা $AC$-কে $E$ বিন্দুতে ছেদ করে। যদি $AC = 14\text{ cm}$ হয়, তবে $AE = $ কত?

(a) $7\text{ cm}$ (b) $14\text{ cm}$ (c) $3.5\text{ cm}$ (d) $10.5\text{ cm}$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

উপপাদ্যানুসারে $E$ হলো $AC$-এর মধ্যবিন্দু। অতএব, $AE = \frac{1}{2} AC = \frac{14}{2} = 7\text{ cm}$।

(28) $\triangle ABC$-এর মধ্যবিন্দুগুলি $D, E, F$। যদি $\triangle DEF$-এর পরিসীমা $18\text{ cm}$ হয়, তবে $\triangle ABC$-এর পরিসীমা কত?

(a) $36\text{ cm}$ (b) $9\text{ cm}$ (c) $54\text{ cm}$ (d) $27\text{ cm}$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

মূল ত্রিভুজের পরিসীমা $= 2 \times \text{মধ্যবিন্দু ত্রিভুজের পরিসীমা} = 2 \times 18 = 36\text{ cm}$।

(29) চতুর্ভুজ $ABCD$-এর বাহুগুলির মধ্যবিন্দু $P, Q, R, S$ যোগ করে একটি বর্গক্ষেত্র পাওয়া গেল। $ABCD$ চতুর্ভুজটি অবশ্যই কী হবে?

(a) কর্ণদ্বয় সমান ও লম্বালম্বিভাবে ছেদ করে (b) শুধুমাত্র রম্বস (c) শুধুমাত্র ট্র্যাপিজিয়াম (d) যেকোনো সামান্তরিক

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

মধ্যবিন্দু চিত্রটি বর্গক্ষেত্র হতে হলে মূল চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয় সমান হতে হবে (বাহু সমান করার জন্য) এবং লম্ব হতে হবে (কোণ $90^\circ$ করার জন্য)।

(30) $\triangle ABC$-এর $AB$ ও $AC$-এর মধ্যবিন্দু $D$ ও $E$। যদি $\angle B = 65^\circ$ হয়, তবে $\angle ADE = $ কত?

(a) $65^\circ$ (b) $115^\circ$ (c) $25^\circ$ (d) $90^\circ$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

যেহেতু $DE \parallel BC$, তাই $\angle ADE$ এবং $\angle B$ হলো অনুরূপ কোণ।
সুতরাং $\angle ADE = \angle B = 65^\circ$।

(31) $ABCD$ ট্র্যাপিজিয়ামের $AB \parallel CD$। $AD$ ও $BC$-এর মধ্যবিন্দু $P$ ও $Q$। যদি $PQ = 11\text{ cm}$ এবং $AB = 13\text{ cm}$ হয়, তবে $CD = $ কত?

(a) $9\text{ cm}$ (b) $8\text{ cm}$ (c) $10\text{ cm}$ (d) $7\text{ cm}$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

$PQ = \frac{AB + CD}{2} \implies 11 = \frac{13 + CD}{2} \implies 22 = 13 + CD \implies CD = 9\text{ cm}$।

(32) $\triangle ABC$-এর মধ্যমা $AD$। $AD$-এর মধ্যবিন্দু $E$। বর্ধিত $BE$, $AC$-কে $F$ বিন্দুতে ছেদ করে। $AF$-এর দৈর্ঘ্য $AC$-এর কত অংশ?

(a) $\frac{1}{3}$ (b) $\frac{1}{2}$ (c) $\frac{1}{4}$ (d) $\frac{2}{3}$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

$D$ বিন্দু দিয়ে $BF$-এর সমান্তরাল অঙ্কন করে প্রমাণ করা যায় যে $AC$ তিনটি সমান অংশে বিভক্ত হয়। অর্থাৎ $AF = \frac{1}{3} AC$।

(33) সমবাহু ত্রিভুজের বাহুগুলির মধ্যবিন্দু যুক্ত করলে গঠিত ত্রিভুজটি কেমন হবে?

(a) সমবাহু ত্রিভুজ (b) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ (c) সমকোণী ত্রিভুজ (d) বিষমবাহু ত্রিভুজ

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি বাহুই সমান ($a$)। মধ্যবিন্দু দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য হবে $\frac{a}{2}$। তাই নতুন ত্রিভুজটিও সমবাহু ত্রিভুজ।

(34) $\triangle ABC$-এর $AB = 5\text{ cm}$, $BC = 6\text{ cm}$, $CA = 7\text{ cm}$। $D, E, F$ বাহুগুলির মধ্যবিন্দু হলে $\triangle DEF$-এর সবচেয়ে ছোট বাহুটির দৈর্ঘ্য কত?

(a) $2.5\text{ cm}$ (b) $3\text{ cm}$ (c) $3.5\text{ cm}$ (d) $2\text{ cm}$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

ক্ষুদ্রতর ত্রিভুজের বাহুগুলি মূল বাহুগুলির অর্ধেক: $2.5\text{ cm}$, $3\text{ cm}$, $3.5\text{ cm}$।
সবচেয়ে ছোট বাহু $= \frac{5}{2} = 2.5\text{ cm}$।

(35) একটি সামান্তরিকের বাহুগুলির মধ্যবিন্দুগুলি যুক্ত করলে কী পাওয়া যায়?

(a) সামান্তরিক (b) আয়তক্ষেত্র (c) রম্বস (d) বর্গক্ষেত্র

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

যেকোনো সাধারণ সামান্তরিকের বাহুগুলির মধ্যবিন্দু পরপর যুক্ত করলে আবার একটি সামান্তরিকই পাওয়া যায়।

(36) $\triangle ABC$-এর $AB$ ও $AC$-এর মধ্যবিন্দু $D$ ও $E$। $DE \parallel BC$ হলে $\triangle ADE$ ও চতুর্ভুজ $BCED$-এর ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?

(a) $1 : 3$ (b) $1 : 4$ (c) $1 : 2$ (d) $2 : 3$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

$\text{Area}(\triangle ADE) = \frac{1}{4} \text{Area}(\triangle ABC)$।
$\text{Area}(BCED) = \text{Area}(\triangle ABC) - \frac{1}{4}\text{Area}(\triangle ABC) = \frac{3}{4} \text{Area}(\triangle ABC)$।
অনুপাত $= \frac{1/4}{3/4} = 1 : 3$।

(37) সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের মধ্যবিন্দু থেকে বিপরীত শীর্ষবিন্দুর দূরত্ব অতিভুজের—

(a) অর্ধেক (b) সমান (c) দ্বিগুণ (d) এক-তৃতীয়াংশ

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের মধ্যবিন্দুটি ত্রিভুজটির পরিকেন্দ্র। তাই এটি তিনটি শীর্ষবিন্দু থেকেই সমদূরবর্তী এবং এই দূরত্ব অতিভুজের দৈর্ঘ্যের অর্ধেক।

(38) $\triangle ABC$-এর সমকোণ $\angle B = 90^\circ$। $AC = 12\text{ cm}$ হলে $B$ বিন্দু থেকে অতিভুজ $AC$-এর ওপর অঙ্কিত মধ্যমা $BD$-এর দৈর্ঘ্য কত?

(a) $6\text{ cm}$ (b) $12\text{ cm}$ (c) $24\text{ cm}$ (d) $3\text{ cm}$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের ওপর মধ্যমার দৈর্ঘ্য $= \frac{1}{2} \times \text{অতিভুজ} = \frac{12}{2} = 6\text{ cm}$।

(39) $\triangle ABC$-এর $AB$ ও $AC$-এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $D$ ও $E$। $BC = 14\text{ cm}$ এবং $\angle C = 40^\circ$ হলে, $\angle AED = $ কত? (যদি $DE \parallel BC$ হয়)

(a) $40^\circ$ (b) $140^\circ$ (c) $50^\circ$ (d) $80^\circ$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

যেহেতু $DE \parallel BC$, $\angle AED$ ও $\angle C$ অনুরূপ কোণ।
অতএব $\angle AED = \angle C = 40^\circ$।

(40) দুটি সমান্তরাল সরলরেখাকে একটি ছেদক ছেদ করলে, ছেদকের একই পাশের অন্তঃকোণদ্বয়ের সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় বাহুদ্বয়ের সাথে কী গঠন করে?

(a) সমকোণ (b) সূক্ষ্মকোণ (c) স্থূলকোণ (d) সরলকোণ

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

একই পাশের অন্তঃকোণদ্বয়ের সমষ্টি $180^\circ$। তাদের অর্ধেকগুলির সমষ্টি $= \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$। তাই সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় সমকোণে ছেদ করে।

(41) $\triangle ABC$-এর $AB$ ও $AC$-এর মধ্যবিন্দু $D$ ও $E$। $DE$-এর ওপর যেকোনো বিন্দু $P$। $\triangle PBC$-এর ক্ষেত্রফল $\triangle ABC$-এর কত অংশ?

(a) $\frac{1}{2}$ (b) $\frac{1}{4}$ (c) $\frac{1}{3}$ (d) $\frac{2}{3}$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

ভূমি $BC$ একই এবং $P$ বিন্দুটি $BC$-এর সমান্তরাল $DE$ রেখায় অবস্থিত। $P$ থেকে $BC$-এর দূরত্ব মূল উচ্চতার অর্ধেক।
অতএব $\text{Area}(\triangle PBC) = \frac{1}{2} \times BC \times \frac{h}{2} = \frac{1}{2}\text{Area}(\triangle ABC)$।

(42) $ABCD$ ট্র্যাপিজিয়ামের $AB \parallel CD$ এবং $AC$ ও $BD$ কর্ণদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $E$ ও $F$। $EF$-এর দৈর্ঘ্য কত?

(a) $\frac{1}{2}(AB - CD)$ (b) $\frac{1}{2}(AB + CD)$ (c) $\frac{1}{4}(AB + CD)$ (d) $(AB - CD)$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

উপপাদ্যানুসারে: ট্র্যাপিজিয়ামের কর্ণদ্বয়ের মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশের দৈর্ঘ্য সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের বিয়োগফলের অর্ধেক, অর্থাৎ $\frac{1}{2}(AB - CD)$।

(43) $ABCD$ ট্র্যাপিজিয়ামের $AB = 15\text{ cm}$, $CD = 9\text{ cm}$। এর কর্ণদ্বয়ের মধ্যবিন্দুর সংযোগকারী রেখাংশের দৈর্ঘ্য কত?

(a) $3\text{ cm}$ (b) $12\text{ cm}$ (c) $6\text{ cm}$ (d) $4.5\text{ cm}$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

দৈর্ঘ্য $= \frac{1}{2}(15 - 9) = \frac{1}{2} \times 6 = 3\text{ cm}$।

(44) $\triangle ABC$-এর $AB$ ও $AC$-এর মধ্যবিন্দু $D$ ও $E$। $BC = 16\text{ cm}$ হলে $DE$-এর দৈর্ঘ্য কত?

(a) $8\text{ cm}$ (b) $32\text{ cm}$ (c) $16\text{ cm}$ (d) $4\text{ cm}$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য অনুসারে, $DE = \frac{1}{2} BC = \frac{16}{2} = 8\text{ cm}$।

(45) $\triangle ABC$-এর বাহু $AB$-এর মধ্যবিন্দু $D$। $D$ দিয়ে $BC$-এর সমান্তরাল রেখা অঙ্কন করা হলো যা $AC$-কে $E$-তে ছেদ করল। যদি $AE = 5\text{ cm}$ হয়, তবে $AC$-এর দৈর্ঘ্য কত?

(a) $10\text{ cm}$ (b) $5\text{ cm}$ (c) $2.5\text{ cm}$ (d) $15\text{ cm}$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

$E$ হলো $AC$-এর মধ্যবিন্দু। সুতরাং $AC = 2 \times AE = 2 \times 5 = 10\text{ cm}$।

(46) একটি চতুর্ভুজের বাহুগুলির মধ্যবিন্দু যুক্ত করে গঠিত সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল মূল চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফলের কত গুণ?

(a) $\frac{1}{2}$ (b) $\frac{1}{4}$ (c) $\frac{1}{3}$ (d) $\frac{3}{4}$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

যেকোনো চতুর্ভুজের মধ্যবিন্দুগুলি যুক্ত করে গঠিতVarignon সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল মূল চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক ($\frac{1}{2}$) হয়।

(47) $\triangle ABC$-এর $D, E, F$ যথাক্রমে $BC, CA, AB$-এর মধ্যবিন্দু। যদি $\triangle ABC = 48\text{ sq cm}$ হয়, তবে চতুর্ভুজ $BDEF$-এর ক্ষেত্রফল কত?

(a) $24\text{ sq cm}$ (b) $12\text{ sq cm}$ (c) $36\text{ sq cm}$ (d) $16\text{ sq cm}$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

চতুর্ভুজ $BDEF$ দুটি সমান ক্ষুদ্র ত্রিভুজ নিয়ে গঠিত ($\triangle BDF$ এবং $\triangle DEF$)।
প্রতিটি ক্ষুদ্র ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $= \frac{48}{4} = 12\text{ sq cm}$।
অতএব $BDEF$-এর ক্ষেত্রফল $= 2 \times 12 = 24\text{ sq cm}$।

(48) $\triangle ABC$-এর $AB$ ও $AC$-এর মধ্যবিন্দু $D$ ও $E$। যদি $DE = 7\text{ cm}$ হয়, তবে $BC$-এর দৈর্ঘ্য কত?

(a) $14\text{ cm}$ (b) $3.5\text{ cm}$ (c) $21\text{ cm}$ (d) $28\text{ cm}$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

$BC = 2 \times DE = 2 \times 7 = 14\text{ cm}$।

(49) $\triangle ABC$-এর $AB$ ও $AC$-এর মধ্যবিন্দু $P$ ও $Q$। $PQ \parallel BC$। যদি $AP = 3\text{ cm}$ এবং $AQ = 4\text{ cm}$ হয়, তবে $AB + AC = $ কত?

(a) $14\text{ cm}$ (b) $7\text{ cm}$ (c) $12\text{ cm}$ (d) $21\text{ cm}$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

$P$ মধ্যবিন্দু বলে $AB = 2 \times AP = 2 \times 3 = 6\text{ cm}$।
$Q$ মধ্যবিন্দু বলে $AC = 2 \times AQ = 2 \times 4 = 8\text{ cm}$।
সুতরাং $AB + AC = 6 + 8 = 14\text{ cm}$।

(50) $\triangle ABC$-এর $AB, BC, CA$ বাহুগুলির মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $D, E, F$। $\triangle DEF$ ও $\triangle ABC$-এর পরিসীমাদ্বয়ের অনুপাত কত?

(a) $1 : 2$ (b) $1 : 4$ (c) $1 : 3$ (d) $2 : 1$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

ক্ষুদ্রতর ত্রিভুজটির প্রতি বাহু মূল বাহুর অর্ধেক, তাই পরিসীমাও মূল ত্রিভুজের পরিসীমার অর্ধেক হবে।
অনুপাত $= 1 : 2$।