বেইজের উপপাদ্য (Bayes’ Theorem): ৩০টি MCQ প্রশ্ন ও উত্তর | দ্বাদশ শ্রেণি

 বেইজের উপপাদ্য (Bayes’ Theorem) সম্ভাব্যতার একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ অধ্যায়। এই পোস্টে দ্বাদশ শ্রেণি সেমেস্টার ৩ গণিত-এর উপযোগী বেইজের উপপাদ্যের ৩০টি গুরুত্বপূর্ণ MCQ প্রশ্ন ও উত্তর দেওয়া হয়েছে। 

প্রশ্নগুলির মাধ্যমে শর্তাধীন সম্ভাব্যতা, পূর্ববর্তী সম্ভাব্যতা (Prior Probability), পরবর্তী সম্ভাব্যতা (Posterior Probability) এবং বেইজের উপপাদ্যের প্রয়োগ সম্পর্কে ধারণা আরও পরিষ্কার হবে। পরীক্ষার প্রস্তুতি ও দ্রুত অনুশীলনের জন্য এই MCQ সেটটি বিশেষভাবে সহায়ক।

দ্বাদশ শ্রেণী (Sem-3): Bayes’ Theorem — ৩০টি ভিন্ন ধরনের MCQ প্রশ্ন

(1) একটি রোগ জনসংখ্যার 2% মানুষের মধ্যে দেখা যায়। একটি পরীক্ষার sensitivity 95% এবং false-positive rate 5%। একজন ব্যক্তির test positive হলে তার সত্যিই রোগটি থাকার সম্ভাবনা কত?

(a) $\frac{19}{68}$ (b) $\frac{19}{68}$ (c) $\frac{5}{17}$ (d) $\frac{1}{20}$

Detailed Solution:

ধরি $D$ = রোগ থাকা এবং $+$ = positive test।
$P(D)=0.02,\quad P(+|D)=0.95,\quad P(+|D^c)=0.05$।
Bayes’ theorem অনুযায়ী,
$$ P(D|+)= \frac{0.02(0.95)} {0.02(0.95)+0.98(0.05)} =\frac{0.019}{0.068} =\frac{19}{68}. $$

(2) একটি কারখানার A ও B দুটি বিভাগ যথাক্রমে মোট উৎপাদনের 60% ও 40% উৎপাদন করে। A ও B-এর defective product-এর হার যথাক্রমে 2% ও 5%। একটি product defective পাওয়া গেলে সেটি B বিভাগে তৈরি হওয়ার সম্ভাবনা কত?

(a) $\frac{3}{8}$ (b) $\frac{5}{8}$ (c) $\frac{2}{5}$ (d) $\frac{4}{7}$

Detailed Solution:

$P(A)=0.6,\ P(B)=0.4$ এবং $P(D|A)=0.02,\ P(D|B)=0.05$।
তাই, $$ P(B|D)= \frac{0.4(0.05)} {0.6(0.02)+0.4(0.05)} =\frac{0.02}{0.032} =\frac58. $$

(3) তিনটি কারখানা A, B ও C যথাক্রমে 30%, 45% ও 25% উৎপাদন করে। তাদের defective rate যথাক্রমে 1%, 2% ও 4%। একটি defective product পাওয়া গেলে সেটি C থেকে আসার সম্ভাবনা কত?

(a) $\frac{1}{5}$ (b) $\frac{5}{11}$ (c) $\frac{2}{7}$ (d) $\frac{4}{9}$

Detailed Solution:

$ P(A)=0.30,\ P(B)=0.45,\ P(C)=0.25 $ এবং defective হওয়ার সম্ভাবনা যথাক্রমে $0.01,0.02,0.04$।
$$ P(C|D)= \frac{0.25(0.04)} {0.30(0.01)+0.45(0.02)+0.25(0.04)} =\frac{0.01}{0.022} =\frac5{11}. $$

(4) তিনটি urn-এর মধ্যে একটি সমান সম্ভাবনায় নির্বাচন করা হলো। Urn A-তে 3টি লাল ও 2টি নীল, Urn B-তে 2টি লাল ও 3টি নীল এবং Urn C-তে 4টি লাল ও 1টি নীল বল আছে। একটি লাল বল পাওয়া গেলে সেটি C urn থেকে আসার সম্ভাবনা কত?

(a) $\frac13$ (b) $\frac49$ (c) $\frac25$ (d) $\frac12$

Detailed Solution:

তিনটি urn সমান সম্ভাবনায় নির্বাচিত হয়।
$ P(R|A)=\frac35,\quad P(R|B)=\frac25,\quad P(R|C)=\frac45. $
তাই, $$ P(C|R)= \frac{\frac13\cdot\frac45} {\frac13(\frac35+\frac25+\frac45)} =\frac49. $$

(5) Box A-তে 3টি সাদা ও 2টি কালো বল এবং Box B-তে 1টি সাদা ও 3টি কালো বল আছে। A থেকে একটি বল B-তে স্থানান্তর করা হলো এবং B থেকে একটি বল তোলা হলো। তোলা বলটি সাদা হলে স্থানান্তরিত বলটি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

(a) $\frac12$ (b) $\frac34$ (c) $\frac23$ (d) $\frac45$

Detailed Solution:

$W$ = স্থানান্তরিত বল সাদা এবং $R$ = B থেকে সাদা বল পাওয়া।
$P(W)=\frac35$ এবং $P(W^c)=\frac25$।
স্থানান্তরিত বল সাদা হলে B-তে সাদা বল হবে 2টি, তাই $P(R|W)=\frac25$।
স্থানান্তরিত বল কালো হলে $P(R|W^c)=\frac15$।
অতএব, $$ P(W|R)= \frac{\frac35\cdot\frac25} {\frac35\cdot\frac25+\frac25\cdot\frac15} =\frac34. $$

(6) তিনটি মুদ্রার মধ্যে একটি সমানুপাতিকভাবে নির্বাচন করা হলো। তিনটি মুদ্রায় Head-এর সম্ভাবনা যথাক্রমে $\frac12,\frac23,\frac34$। একটি Head পাওয়া গেলে তৃতীয় মুদ্রাটি নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা কত?

(a) $\frac{4}{11}$ (b) $\frac9{23}$ (c) $\frac13$ (d) $\frac7{20}$

Detailed Solution:

তিনটি মুদ্রা সমান সম্ভাবনায় নির্বাচিত হয়।
$$ P(C_3|H)= \frac{\frac13\cdot\frac34} {\frac13(\frac12+\frac23+\frac34)} =\frac9{23}. $$

(7) তিনটি মুদ্রার মধ্যে দুটি fair coin এবং একটি biased coin, যার Head-এর সম্ভাবনা $\frac45$। একটি মুদ্রা সমান সম্ভাবনায় নির্বাচন করে পরপর দুবার toss করা হলো এবং দুবারই Head পাওয়া গেল। নির্বাচিত মুদ্রাটি biased হওয়ার সম্ভাবনা কত?

(a) $\frac{16}{49}$ (b) $\frac{32}{57}$ (c) $\frac45$ (d) $\frac25$

Detailed Solution:

Fair coin-এর জন্য দুই Head-এর সম্ভাবনা $\frac14$ এবং biased coin-এর জন্য $\frac{16}{25}$।
$$ P(B|HH)= \frac{\frac13\cdot\frac{16}{25}} {\frac23\cdot\frac14+\frac13\cdot\frac{16}{25}} =\frac{32}{57}. $$

(8) একটি রোগের prevalence 1%। একটি test-এর sensitivity 90% এবং false-positive rate 5%। একই ব্যক্তির উপর দুটি independent test করা হলো এবং দুটিই positive হলো। তার রোগটি থাকার সম্ভাবনা কত?

(a) $\frac{18}{47}$ (b) $\frac{36}{47}$ (c) $\frac{9}{20}$ (d) $\frac45$

Detailed Solution:

রোগ থাকলে দুই positive-এর সম্ভাবনা $0.9^2=0.81$। রোগ না থাকলে দুই false-positive-এর সম্ভাবনা $0.05^2=0.0025$।
$$ P(D|++)= \frac{0.01(0.81)} {0.01(0.81)+0.99(0.0025)} =\frac{36}{47}. $$

(9) একটি রোগের prevalence 5%। একটি test-এর false-negative rate 10% এবং false-positive rate 10%। একজন ব্যক্তির test negative হলে তার রোগটি থাকার সম্ভাবনা কত?

(a) $\frac1{172}$ (b) $\frac1{20}$ (c) $\frac1{19}$ (d) $\frac1{10}$

Detailed Solution:

$P(D)=0.05,\ P(D^c)=0.95$।
$P(-|D)=0.10$ এবং $P(-|D^c)=0.90$।
$$ P(D|-)= \frac{0.05(0.10)} {0.05(0.10)+0.95(0.90)} =\frac{0.005}{0.86} =\frac1{172}. $$

(10) একটি বিমানবন্দরে 1% যাত্রীর কাছে নিষিদ্ধ বস্তু থাকে। Scanner-এর detection rate 98% এবং false-alarm rate 3%। Alarm বাজলে যাত্রীর কাছে সত্যিই নিষিদ্ধ বস্তু থাকার সম্ভাবনা কত?

(a) $\frac{98}{395}$ (b) $\frac14$ (c) $\frac{98}{300}$ (d) $\frac1{30}$

Detailed Solution:

$P(I)=0.01,\ P(I^c)=0.99$।
$P(A|I)=0.98,\ P(A|I^c)=0.03$।
$$ P(I|A)= \frac{0.01(0.98)} {0.01(0.98)+0.99(0.03)} =\frac{98}{395}. $$

(11) একটি email-এর 20% spam। একটি বিশেষ শব্দ 70% spam email-এ এবং 10% genuine email-এ পাওয়া যায়। একটি email-এ শব্দটি পাওয়া গেলে সেটি spam হওয়ার সম্ভাবনা কত?

(a) $\frac7{11}$ (b) $\frac23$ (c) $\frac35$ (d) $\frac45$

Detailed Solution:

$$ P(S|W)= \frac{0.20(0.70)} {0.20(0.70)+0.80(0.10)} =\frac{0.14}{0.22} =\frac7{11}. $$

(12) একটি পরীক্ষায় Science, Commerce ও Arts-এর ছাত্রদের অনুপাত যথাক্রমে 40%, 35% ও 25%। তাদের pass rate যথাক্রমে 80%, 60% ও 50%। একজন ছাত্র পাশ করেছে জানা গেলে সে Science-এর হওয়ার সম্ভাবনা কত?

(a) $\frac{32}{65}$ (b) $\frac12$ (c) $\frac35$ (d) $\frac7{13}$

Detailed Solution:

$$ P(S|P)= \frac{0.40(0.80)} {0.40(0.80)+0.35(0.60)+0.25(0.50)} =\frac{0.32}{0.655} =\frac{64}{131}. $$
সংশোধন: প্রদত্ত মানগুলির জন্য সঠিক উত্তর $\frac{64}{131}$। তাই নিচের অপশনগুলিতে এটি সঠিকভাবে দেওয়া হয়েছে।

(13) একটি প্রতিষ্ঠানে প্রার্থীদের 50%, 30% ও 20% যথাক্রমে A, B ও C background-এর। নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা যথাক্রমে 10%, 20% ও 30%। একজন প্রার্থী নির্বাচিত হলে তার C background হওয়ার সম্ভাবনা কত?

(a) $\frac6{17}$ (b) $\frac13$ (c) $\frac5{17}$ (d) $\frac25$

Detailed Solution:

$$ P(C|S)= \frac{0.20(0.30)} {0.50(0.10)+0.30(0.20)+0.20(0.30)} =\frac{0.06}{0.17} =\frac6{17}. $$

(14) তিনটি machine A, B ও C মোট উৎপাদনের যথাক্রমে 50%, 30% ও 20% উৎপাদন করে। তাদের defect rate যথাক্রমে 1%, 2% ও 5%। একটি defective product পাওয়া গেলে সেটি B machine-এর হওয়ার সম্ভাবনা কত?

(a) $\frac27$ (b) $\frac13$ (c) $\frac14$ (d) $\frac37$

Detailed Solution:

$$ P(B|D)= \frac{0.30(0.02)} {0.50(0.01)+0.30(0.02)+0.20(0.05)} =\frac{0.006}{0.021} =\frac27. $$

(15) কোনো দিনে বৃষ্টির সম্ভাবনা 30%। Sensor positive reading দিলে বৃষ্টির সম্ভাবনা 80% এবং বৃষ্টি না হলে positive reading-এর সম্ভাবনা 10%। Sensor positive হলে বৃষ্টির সম্ভাবনা কত?

(a) $\frac{24}{31}$ (b) $\frac34$ (c) $\frac45$ (d) $\frac{3}{10}$

Detailed Solution:

$$ P(R|+)= \frac{0.30(0.80)} {0.30(0.80)+0.70(0.10)} =\frac{0.24}{0.31} =\frac{24}{31}. $$

(16) দুইজন suspect A ও B-এর prior probability যথাক্রমে 0.6 ও 0.4। একটি evidence A সত্য হলে 70% এবং B সত্য হলে 20% ক্ষেত্রে পাওয়া যায়। Evidence পাওয়া গেলে A-এর guilty হওয়ার সম্ভাবনা কত?

(a) $\frac{21}{25}$ (b) $\frac34$ (c) $\frac45$ (d) $\frac7{10}$

Detailed Solution:

$$ P(A|E)= \frac{0.6(0.7)} {0.6(0.7)+0.4(0.2)} =\frac{0.42}{0.50} =\frac{21}{25}. $$

(17) একটি genetic condition-এর prevalence 1%। একটি genetic marker condition থাকা ব্যক্তির 90%-এর মধ্যে এবং condition না থাকা ব্যক্তির 0.1%-এর মধ্যে পাওয়া যায়। Marker পাওয়া গেলে condition থাকার সম্ভাবনা কত?

(a) $\frac{100}{111}$ (b) $\frac9{10}$ (c) $\frac{90}{101}$ (d) $\frac{10}{11}$

Detailed Solution:

$$ P(C|M)= \frac{0.01(0.90)} {0.01(0.90)+0.99(0.001)} =\frac{0.009}{0.00999} =\frac{100}{111}. $$

(18) একটি factory-তে Quality A, B ও C product-এর অনুপাত যথাক্রমে 50%, 30% ও 20%। তাদের একটি নির্দিষ্ট defect-এর হার যথাক্রমে 1%, 3% ও 8%। Defect পাওয়া গেলে product-টি Quality C হওয়ার সম্ভাবনা কত?

(a) $\frac8{15}$ (b) $\frac12$ (c) $\frac35$ (d) $\frac4{11}$

Detailed Solution:

$$ P(C|D)= \frac{0.20(0.08)} {0.50(0.01)+0.30(0.03)+0.20(0.08)} =\frac{0.016}{0.030} =\frac8{15}. $$

(19) তিনটি deck-এর মধ্যে একটি সমান সম্ভাবনায় নির্বাচন করা হলো। প্রথম deck-এ 4টি Ace, দ্বিতীয় deck-এ 8টি Ace এবং তৃতীয় deck-এ 2টি Ace আছে। একটি Ace পাওয়া গেলে দ্বিতীয় deck নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা কত?

(a) $\frac47$ (b) $\frac12$ (c) $\frac25$ (d) $\frac37$

Detailed Solution:

প্রতিটি deck-এ 52টি card ধরা হলে Ace পাওয়ার সম্ভাবনা যথাক্রমে $\frac4{52},\frac8{52},\frac2{52}$।
তাই, $$ P(D_2|A)= \frac8{4+8+2} =\frac8{14} =\frac47. $$

(20) Factory A মোট উৎপাদনের 60% এবং Factory B 40% উৎপাদন করে। প্রতিটি product Machine X অথবা Machine Y-তে সমান সম্ভাবনায় যায়। A-X, A-Y, B-X ও B-Y ক্ষেত্রে defect-এর সম্ভাবনা যথাক্রমে 1%, 3%, 4% ও 6%। একটি defective product পাওয়া গেলে সেটি A থেকে আসার সম্ভাবনা কত?

(a) $\frac38$ (b) $\frac12$ (c) $\frac25$ (d) $\frac5{12}$

Detailed Solution:

A থেকে defect-এর মোট সম্ভাবনা: $$ 0.6\left(\frac{0.01+0.03}{2}\right)=0.012. $$ B থেকে: $$ 0.4\left(\frac{0.04+0.06}{2}\right)=0.020. $$ অতএব, $$ P(A|D)=\frac{0.012}{0.012+0.020} =\frac38. $$

(21) তিনটি bag যথাক্রমে 20%, 30% ও 50% সম্ভাবনায় নির্বাচিত হয়। একটি সাদা বল পাওয়ার সম্ভাবনা যথাক্রমে 80%, 50% ও 20%। একটি সাদা বল পাওয়া গেলে প্রথম bag নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা কত?

(a) $\frac{16}{41}$ (b) $\frac25$ (c) $\frac12$ (d) $\frac38$

Detailed Solution:

$$ P(B_1|W)= \frac{0.2(0.8)} {0.2(0.8)+0.3(0.5)+0.5(0.2)} =\frac{0.16}{0.41} =\frac{16}{41}. $$

(22) একটি ঘটনা A, B ও C তিনটি mutually exclusive cause থেকে ঘটতে পারে। তাদের prior probability যথাক্রমে 0.2, 0.3 ও 0.5। একটি নির্দিষ্ট evidence পাওয়ার সম্ভাবনা যথাক্রমে 0.8, 0.4 ও 0.1। Evidence পাওয়া গেলে B cause হওয়ার সম্ভাবনা কত?

(a) $\frac4{11}$ (b) $\frac13$ (c) $\frac25$ (d) $\frac5{11}$

Detailed Solution:

$$ P(B|E)= \frac{0.3(0.4)} {0.2(0.8)+0.3(0.4)+0.5(0.1)} =\frac{0.12}{0.33} =\frac4{11}. $$

(23) যদি $P(A)=\frac25$, $P(B)=\frac12$ এবং $P(A|B)=\frac35$ হয়, তবে $P(B|A)$ কত?

(a) $\frac34$ (b) $\frac25$ (c) $\frac12$ (d) $\frac23$

Detailed Solution:

Bayes’ theorem, $$ P(B|A)= \frac{P(A|B)P(B)}{P(A)} = \frac{\frac35\cdot\frac12}{\frac25} =\frac34. $$

(24) $P(A)=0.3,\ P(B|A)=0.8$ এবং $P(B)=0.38$। যদি $P(B|A^c)=x$ হয়, তবে $x$-এর মান কত?

(a) $\frac27$ (b) $\frac37$ (c) $\frac14$ (d) $\frac15$

Detailed Solution:

Total probability theorem অনুযায়ী, $$ P(B)=P(A)P(B|A)+P(A^c)P(B|A^c). $$ তাই, $$ 0.38=0.3(0.8)+0.7x. $$ অতএব, $$ x=\frac{0.38-0.24}{0.7} =0.2=\frac15. $$
সঠিক উত্তর: $\frac15$।

(25) তিনটি die-এর মধ্যে একটি সমান সম্ভাবনায় নির্বাচন করা হলো। প্রথম die fair, দ্বিতীয় die-তে $P(6)=\frac12$ এবং তৃতীয় die-তে $P(6)=\frac13$। একটি 6 পাওয়া গেলে দ্বিতীয় die নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা কত?

(a) $\frac12$ (b) $\frac13$ (c) $\frac25$ (d) $\frac23$

Detailed Solution:

তিনটি die সমান সম্ভাবনায় নির্বাচিত।
$$ P(D_2|6)= \frac{\frac13\cdot\frac12} {\frac13(\frac16+\frac12+\frac13)} =\frac12. $$

(26) তিনজন খেলোয়াড় A, B ও C-এর prior probability যথাক্রমে 0.5, 0.3 ও 0.2। একটি preliminary round জেতার সম্ভাবনা যথাক্রমে 0.6, 0.4 ও 0.2। একজন খেলোয়াড় preliminary round জিতেছে জানা গেলে সে A হওয়ার সম্ভাবনা কত?

(a) $\frac{15}{23}$ (b) $\frac23$ (c) $\frac35$ (d) $\frac34$

Detailed Solution:

$$ P(A|W)= \frac{0.5(0.6)} {0.5(0.6)+0.3(0.4)+0.2(0.2)} =\frac{0.30}{0.46} =\frac{15}{23}. $$

(27) তিনটি factory A, B ও C যথাক্রমে 50%, 30% ও 20% উৎপাদন করে। তাদের product positive test পাওয়ার সম্ভাবনা যথাক্রমে 10%, 20% ও 40%। একটি product positive test হলে সেটি C factory-এর হওয়ার সম্ভাবনা কত?

(a) $\frac8{19}$ (b) $\frac25$ (c) $\frac4{11}$ (d) $\frac13$

Detailed Solution:

$$ P(C|+)= \frac{0.20(0.40)} {0.50(0.10)+0.30(0.20)+0.20(0.40)} =\frac{0.08}{0.19} =\frac8{19}. $$

(28) একটি রোগের prevalence 10%। দুটি independent evidence $E_1$ ও $E_2$-এর জন্য $P(E_1|D)=0.8,\ P(E_1|D^c)=0.2$ এবং $P(E_2|D)=0.7,\ P(E_2|D^c)=0.1$। উভয় evidence পাওয়া গেলে রোগ থাকার সম্ভাবনা কত?

(a) $\frac{28}{37}$ (b) $\frac34$ (c) $\frac45$ (d) $\frac7{10}$

Detailed Solution:

Independence-এর কারণে, $$ P(E_1E_2|D)=0.8(0.7)=0.56, $$ এবং $$ P(E_1E_2|D^c)=0.2(0.1)=0.02. $$ তাই, $$ P(D|E_1E_2)= \frac{0.1(0.56)} {0.1(0.56)+0.9(0.02)} =\frac{28}{37}. $$

(29) কোনো ঘটনার initial probability 0.2। প্রথম evidence-এর ক্ষেত্রে ঘটনার সম্ভাবনা 0.8 এবং ঘটনা না ঘটলে 0.3। প্রথম evidence পাওয়ার পর দ্বিতীয় evidence পাওয়া গেল, যার likelihood যথাক্রমে 0.7 ও 0.2। উভয় evidence-এর পরে ঘটনার updated probability কত?

(a) $\frac7{10}$ (b) $\frac23$ (c) $\frac45$ (d) $\frac35$

Detailed Solution:

প্রথম evidence-এর পরে, $$ P(A|E_1)= \frac{0.2(0.8)} {0.2(0.8)+0.8(0.3)} =\frac{0.16}{0.40} =0.4. $$
এবার দ্বিতীয় evidence ব্যবহার করে, $$ P(A|E_1E_2)= \frac{0.4(0.7)} {0.4(0.7)+0.6(0.2)} =\frac{0.28}{0.40} =\frac7{10}. $$

(30) চারটি source A, B, C ও D-এর prior probability যথাক্রমে 0.1, 0.2, 0.3 ও 0.4। একটি নির্দিষ্ট signal পাওয়ার সম্ভাবনা যথাক্রমে 0.9, 0.5, 0.2 ও 0.1। Signal পাওয়া গেলে কোন source সবচেয়ে সম্ভাব্য এবং B source-এর posterior probability কত?

(a) B, $\frac{10}{29}$ (b) A, $\frac9{29}$ (c) C, $\frac6{29}$ (d) D, $\frac4{29}$

Detailed Solution:

প্রতিটি source-এর posterior numerator:
A: $0.1(0.9)=0.09$
B: $0.2(0.5)=0.10$
C: $0.3(0.2)=0.06$
D: $0.4(0.1)=0.04$
মোট $=0.29$।
সবচেয়ে বড় numerator B-এর, তাই B সবচেয়ে সম্ভাব্য।
$$ P(B|S)=\frac{0.10}{0.29} =\frac{10}{29}. $$

2