নবম শ্রেণীর ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র, অন্তঃকেন্দ্র, লম্ববিন্দু ও ভরকেন্দ্র: 20টি MCQ প্রশ্ন

 ত্রিভুজের বিভিন্ন বিশেষ কেন্দ্র—পরিকেন্দ্র (Circumcenter), অন্তঃকেন্দ্র (Incenter), লম্ববিন্দু (Orthocenter) এবং ভরকেন্দ্র (Centroid)—জ্যামিতির একটি গুরুত্বপূর্ণ অংশ। এই ধারণাগুলি শুধু নবম শ্রেণীর পরীক্ষার জন্যই নয়, ভবিষ্যতে উচ্চতর গণিত ও বিভিন্ন প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষার প্রস্তুতির ক্ষেত্রেও অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।

এই পোস্টে নবম শ্রেণীর শিক্ষার্থীদের জন্য এই বিষয়গুলির উপর ২০টি গুরুত্বপূর্ণ MCQ প্রশ্ন দেওয়া হয়েছে। প্রতিটি প্রশ্ন ভালোভাবে সমাধান করে নিজের ধারণা যাচাই করুন এবং কোন বিষয়টিতে আরও অনুশীলন প্রয়োজন তা চিহ্নিত করুন।

নবম শ্রেণী: ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র, অন্তঃকেন্দ্র, লম্ববিন্দু ও ভরকেন্দ্র

(1) ত্রিভুজের তিনটি মধ্যমা যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে কী বলা হয়?

(a) পরিকেন্দ্র (b) ভরকেন্দ্র (c) লম্ববিন্দু (d) অন্তঃকেন্দ্র

Detailed Solution:

ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত অঙ্কিত সংযোজক সরলরেখাকে মধ্যমা বলে। এই তিনটি মধ্যমার ছেদবিন্দুকে ভরকেন্দ্র (Centroid) বলা হয়।

(2) ত্রিভুজের বাহুগুলির লম্বসমদ্বিখণ্ডক ত্রয়ের ছেদবিন্দুকে কী বলা হয়?

(a) পরিকেন্দ্র (b) অন্তঃকেন্দ্র (c) লম্ববিন্দু (d) ভরকেন্দ্র

Detailed Solution:

ত্রিভুজের তিনটি বাহুর লম্বসমদ্বিখণ্ডক তিনটি সমবিন্দু হয়। এই ছেদবিন্দুকে পরিকেন্দ্র (Circumcentre) বলা হয়। এই বিন্দু থেকে ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দুর দূরত্ব সমান।

(3) ত্রিভুজের কোণগুলির অন্তসমদ্বিখণ্ডক ত্রয়ের ছেদবিন্দুকে কী বলা হয়?

(a) লম্ববিন্দু (b) অন্তঃকেন্দ্র (c) ভরকেন্দ্র (d) পরিকেন্দ্র

Detailed Solution:

ত্রিভুজের তিনটি অন্তঃকোণের অন্তসমদ্বিখণ্ডক যে বিন্দুতে মিলিত হয়, তাকে অন্তঃকেন্দ্র (Incentre) বলা হয়। অন্তঃকেন্দ্র থেকে ত্রিভুজের তিনটি বাহুর লম্বদূরত্ব সমান হয়।

(4) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি থেকে বিপরীত বাহুগুলির উপর অঙ্কিত লম্ব তিনটি যে বিন্দুতে ছেদ করে, তাকে কী বলে?

(a) পরিকেন্দ্র (b) ভরকেন্দ্র (c) লম্ববিন্দু (d) অন্তঃকেন্দ্র

Detailed Solution:

ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহু (বা তার বর্ধিতাংশের) ওপর অঙ্কিত লম্বত্রয়ের ছেদবিন্দুকে লম্ববিন্দু (Orthocentre) বলা হয়।

(5) একটি সমকোণী ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র কোথায় অবস্থিত?

(a) অতিভুজের মধ্যবিন্দুতে (b) সমকোণিক শীর্ষবিন্দুতে (c) ত্রিভুজের অভ্যন্তরে (d) ত্রিভুজের বাইরে

Detailed Solution:

সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, অতিভুজ হলো পরিবৃত্তের ব্যাস। তাই সমকোণী ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র সর্বদা অতিভুজের মধ্যবিন্দুতে অবস্থান করে।

(6) সমকোণী ত্রিভুজের লম্ববিন্দু কোথায় অবস্থিত?

(a) অতিভুজের মধ্যবিন্দুতে (b) সমকোণিক শীর্ষবিন্দুতে (c) ত্রিভুজের বহিস্থ কোনো বিন্দুতে (d) কোনোটিই নয়

Detailed Solution:

সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদুটি নিজেরাই একে অপরের ওপর লম্ব। ফলে শীর্ষবিন্দুগুলি থেকে অঙ্কিত লম্ব তিনটি সমকোণিক শীর্ষবিন্দুতে মিলিত হয়।

(7) স্থূলকোণী ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র ত্রিভুজের কোথায় অবস্থিত?

(a) ত্রিভুজের অভ্যন্তরে (b) ত্রিভুজের বাইরে (বহির্দেশে) (c) বৃহত্তম বাহুর ওপর (d) কোনো শীর্ষবিন্দুতে

Detailed Solution:

সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র ত্রিভুজের ভেতরে থাকে, সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের ওপর থাকে এবং স্থূলকোণী ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র ত্রিভুজের বাইরে (স্থূলকোণের বিপরীত দিকে) অবস্থান করে।

(8) ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র প্রতিটি মধ্যমাকে কী অনুপাতে বিভক্ত করে?

(a) $1 : 2$ (শীর্ষবিন্দুর দিক থেকে) (b) $2 : 1$ (শীর্ষবিন্দুর দিক থেকে) (c) $3 : 1$ (শীর্ষবিন্দুর দিক থেকে) (d) $1 : 1$ (সমান দু-ভাগে)

Detailed Solution:

ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র প্রতিটি মধ্যমাকে শীর্ষবিন্দুর দিক থেকে $2 : 1$ অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। অর্থাৎ, শীর্ষবিন্দু থেকে ভরকেন্দ্রের দূরত্ব, ভূমি থেকে ভরকেন্দ্রের দূরত্বের দ্বিগুণ।

(9) কোন ধরনের ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র, অন্তঃকেন্দ্র, লম্ববিন্দু এবং ভরকেন্দ্র একই বিন্দু হয়?

(a) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ (b) সমবাহু ত্রিভুজ (c) বিষমবাহু ত্রিভুজ (d) সমকোণী ত্রিভুজ

Detailed Solution:

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রে মধ্যমা, কোণের অন্তসমদ্বিখণ্ডক এবং বাহুর লম্বসমদ্বিখণ্ডক সবই অভিন্ন সরলরেখা। তাই এর পরিকেন্দ্র, অন্তঃকেন্দ্র, লম্ববিন্দু ও ভরকেন্দ্র সব একই বিন্দুতে সমপাতিত হয়।

(10) $\triangle ABC$-এর ভরকেন্দ্র $G$ এবং মধ্যমা $AD = 9\text{ cm}$ হলে, $AG$-এর দৈর্ঘ্য কত?

(a) $3\text{ cm}$ (b) $6\text{ cm}$ (c) $4.5\text{ cm}$ (d) $5\text{ cm}$

Detailed Solution:

আমরা জানি, ভরকেন্দ্র $G$, মধ্যমা $AD$-কে $AG : GD = 2 : 1$ অনুপাতে বিভক্ত করে।
অতএব, $AG = \frac{2}{2+1} \times AD = \frac{2}{3} \times 9 = 6\text{ cm}$।

(11) $\triangle ABC$-এর অন্তঃকেন্দ্র $I$ এবং $\angle BAC = 70^\circ$ হলে, $\angle BIC$-এর মান কত?

(a) $110^\circ$ (b) $125^\circ$ (c) $140^\circ$ (d) $105^\circ$

Detailed Solution:

ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র সংক্রান্ত সূত্র অনুযায়ী, $\angle BIC = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle A$
$\implies \angle BIC = 90^\circ + \frac{70^\circ}{2} = 90^\circ + 35^\circ = 125^\circ$।

(12) $\triangle ABC$-এর পরিকেন্দ্র $O$ এবং $\angle BAC = 50^\circ$ হলে, $\angle BOC$-এর মান কত?

(a) $100^\circ$ (b) $115^\circ$ (c) $25^\circ$ (d) $50^\circ$

Detailed Solution:

পরিকেন্দ্রের ক্ষেত্রে কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুণ হয়।
সুতরাং, $\angle BOC = 2 \times \angle BAC = 2 \times 50^\circ = 100^\circ$।

(13) $\triangle ABC$-এর লম্ববিন্দু $H$ এবং $\angle BAC = 60^\circ$ হলে, $\angle BHC$-এর মান কত?

(a) $60^\circ$ (b) $120^\circ$ (c) $90^\circ$ (d) $150^\circ$

Detailed Solution:

সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের লম্ববিন্দু $H$-এর জন্য, $\angle BHC = 180^\circ - \angle A$
$\implies \angle BHC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$।

(14) যেকোনো সমবাহু ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র, অন্তঃকেন্দ্র, লম্ববিন্দু ও ভরকেন্দ্র—

(a) একই সরলরেখায় অবস্থান করে (সমরেখ) (b) একটি সমকোণ তৈরি করে (c) একটি বৃত্ত গঠন করে (d) কোনো নির্দিষ্ট বিন্যাসে থাকে না

Detailed Solution:

সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর ওপর অঙ্কিত লম্ব, মধ্যমা ও কোণের অন্তসমদ্বিখণ্ডক একই সরলরেখা হয়। ফলে এই চারটি কেন্দ্রই সেই প্রতিসাম্য অক্ষের ওপর (একই সরলরেখায়) অবস্থান করে।

(15) ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র $O$, লম্ববিন্দু $H$ এবং ভরকেন্দ্র $G$ সর্বদা একটি সরলরেখায় থাকে (ইউলার রেখা)। এখানে $G$ বিন্দুটি $HG$-কে কী অনুপাতে বিভক্ত করে?

(a) $HG : GO = 2 : 1$ (b) $HG : GO = 1 : 2$ (c) $HG : GO = 1 : 1$ (d) $HG : GO = 3 : 1$

Detailed Solution:

যেকোনো ত্রিভুজে (ইউলার রেখা অনুযায়ী), লম্ববিন্দু ($H$), ভরকেন্দ্র ($G$) এবং পরিকেন্দ্র ($O$) সমরেখ হয় এবং ভরকেন্দ্র $G$, লম্ববিন্দু ও পরিকেন্দ্রের সংযোজক রেখাংশকে $2 : 1$ অনুপাতে (অর্থাৎ $HG : GO = 2 : 1$) অন্তর্বিভক্ত করে।

(16) একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলির দৈর্ঘ্য $6\text{ cm}$, $8\text{ cm}$ এবং $10\text{ cm}$ হলে, ত্রিভুজটির পরিব্যাসার্ধ (Circumradius) কত?

(a) $4\text{ cm}$ (b) $5\text{ cm}$ (c) $3\text{ cm}$ (d) $10\text{ cm}$

Detailed Solution:

এখানে অতিভুজ = $10\text{ cm}$।
যেহেতু সমকোণী ত্রিভুজের পরি ব্যাস হলো অতিভুজ, তাই পরিব্যাসার্ধ $R = \frac{\text{অতিভুজ}}{2} = \frac{10}{2} = 5\text{ cm}$।

(17) একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহু তিনটি $6\text{ cm}$, $8\text{ cm}$ ও $10\text{ cm}$ হলে, এর অন্তর্ব্যাসার্ধ (Inradius) কত?

(a) $2\text{ cm}$ (b) $3\text{ cm}$ (c) $4\text{ cm}$ (d) $1.5\text{ cm}$

Detailed Solution:

সমকোণী ত্রিভুজের অন্তর্ব্যাসার্ধ $r = \frac{a + b - c}{2}$ (যেখানে $a, b$ লম্ব ও ভূমি এবং $c$ অতিভুজ)
$\implies r = \frac{6 + 8 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2\text{ cm}$।

(18) একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য $6\sqrt{3}\text{ cm}$ হলে, তার অন্তর্ব্যাসার্ধ কত?

(a) $3\text{ cm}$ (b) $6\text{ cm}$ (c) $2\sqrt{3}\text{ cm}$ (d) $9\text{ cm}$

Detailed Solution:

সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা $h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \text{বাহু} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 6\sqrt{3} = 9\text{ cm}$।
সমবাহু ত্রিভুজের অন্তর্ব্যাসার্ধ $r = \frac{1}{3} \times h = \frac{1}{3} \times 9 = 3\text{ cm}$।

(19) ত্রিভুজের কোনো কেন্দ্রটি সর্বদা ত্রিভুজের অভ্যন্তরে অবস্থান করে?

(a) পরিকেন্দ্র ও লম্ববিন্দু (b) অন্তঃকেন্দ্র ও ভরকেন্দ্র (c) পরিকেন্দ্র ও ভরকেন্দ্র (d) লম্ববিন্দু ও অন্তঃকেন্দ্র

Detailed Solution:

ত্রিভুজটি সূক্ষ্মকোণী, সমকোণী বা স্থূলকোণী যাই হোক না কেন, অন্তঃকেন্দ্র এবং ভরকেন্দ্র সর্বদাই ত্রিভুজের অভ্যন্তরে (ভেতরে) অবস্থান করে। কিন্তু পরিকেন্দ্র ও লম্ববিন্দু ত্রিভুজের বাইরেও অবস্থান করতে পারে।

(20) স্থূলকোণী ত্রিভুজের লম্ববিন্দু ত্রিভুজের কোথায় অবস্থান করে?

(a) ত্রিভুজের ভেতরে (b) স্থূলকোণের পেছনে (ত্রিভুজের বাইরে) (c) স্থূলকোণের বিপরীত বাহুর ওপর (d) স্থূলকোণিক শীর্ষবিন্দুতে

Detailed Solution:

স্থূলকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে দুটি সূক্ষ্মকোণের শীর্ষবিন্দু থেকে অঙ্কিত লম্ব বিপরীত বাহুর বর্ধিতাংশের ওপর পড়ে। তাই লম্ব তিনটি পিছনের দিকে বর্ধিত করলে স্থূলকোণের পেছনে ত্রিভুজের বাইরে মিলিত হয়।

2