Conditional Probability – Part 5: Restricted Outcomes (Coin Toss Sequence) | Class XII Semester 3 MCQ

 Conditional Probability অধ্যায়ের আরও একটি গুরুত্বপূর্ণ application নিয়ে এবার হাজির Part 5: Restricted Outcomes (Coin Toss Sequence)। এই MCQ সেটে পরপর coin toss-এর ক্ষেত্রে নির্দিষ্ট কিছু outcome বা শর্ত দেওয়া থাকবে, যার ভিত্তিতে সম্ভাব্য ফলাফলের পরিসর সীমাবদ্ধ করে conditional probability নির্ণয় করতে হবে।

প্রশ্ন সমাধানের সময় প্রথমে given condition-টি ভালোভাবে চিহ্নিত করো। তারপর কোন কোন sequence শর্তটি পূরণ করছে তা নির্ধারণ করে restricted sample space থেকে প্রয়োজনীয় probability বের করো।

দ্বাদশ শ্রেণী (Sem-3): সশর্ত সম্ভাবনা (Restricted Outcomes - Coin Toss Sequence)

(1) তিনটি নিরপেক্ষ মুদ্রার টসে অন্তত একটি Head পড়ার সাপেক্ষে, ঠিক দুটি Head পড়ার সম্ভাবনা কত?

(a) $\frac{3}{8}$ (b) $\frac{3}{7}$ (c) $\frac{1}{2}$ (d) $\frac{1}{7}$

Detailed Solution:

অন্তত একটি Head ওঠার হ্রাসকৃত নমুনা দেশ,
$S' = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH\}$ $\implies n(S') = 7$।
ঠিক দুটি Head থাকা ফলাফলগুলি হলো $E' = \{HHT, HTH, THH\}$ $\implies n(E') = 3$।
অতএব, নির্ণেয় সম্ভাবনা $P = \frac{n(E')}{n(S')} = \frac{3}{7}$।

(2) একটি মুদ্রা তিনবার টস করা হলো। প্রথম টসে Head পাওয়া গেলে, তিনটি টসেই একই ফলাফল (All Heads বা All Tails) আসার সম্ভাবনা কত?

(a) $\frac{1}{4}$ (b) $\frac{1}{2}$ (c) $\frac{1}{8}$ (d) $\frac{3}{4}$

Detailed Solution:

প্রথম টসে Head পাওয়ার হ্রাসকৃত নমুনা দেশ,
$S' = \{HHH, HHT, HTH, HTT\}$ $\implies n(S') = 4$।
সবগুলি ফলাফল একই হওয়ার সেট (যেহেতু প্রথমটি Head, তাই কেবল $HHH$ গ্রহণযোগ্য),
$E' = \{HHH\}$ $\implies n(E') = 1$।
অতএব, শর্তাধীন সম্ভাবনা $P = \frac{1}{4}$।

(3) তিনটি মুদ্রার টসে প্রথম ও দ্বিতীয় তোলায় Head পাওয়ার সাপেক্ষে, তৃতীয় তোলায় Tail পড়ার সম্ভাবনা কত?

(a) $\frac{1}{4}$ (b) $\frac{1}{2}$ (c) $\frac{1}{8}$ (d) $\frac{3}{4}$

Detailed Solution:

প্রথম দুটি তোলায় Head ওঠার হ্রাসকৃত নমুনা দেশ,
$S' = \{HHH, HHT\}$ $\implies n(S') = 2$।
তৃতীয় তোলায় Tail ওঠার অনুকূল ফলাফল $E' = \{HHT\}$ $\implies n(E') = 1$।
অতএব, নির্ণেয় সম্ভাবনা $P = \frac{1}{2}$।

(4) একটি নিরপেক্ষ মুদ্রা চারবার টস করা হলো। প্রথম দুটি টসে Head পাওয়া গেলে, অন্তত তিনটি Head ওঠার সম্ভাবনা কত?

(a) $\frac{1}{2}$ (b) $\frac{3}{4}$ (c) $\frac{1}{4}$ (d) $\frac{5}{8}$

Detailed Solution:

প্রথম দুটি টসে Head ওঠার হ্রাসকৃত নমুনা দেশ,
$S' = \{HHHH, HHHT, HHTH, HHTT\}$ $\implies n(S') = 4$।
অন্তত তিনটি Head থাকা ফলাফলগুলি হলো $E' = \{HHHH, HHHT, HHTH\}$ $\implies n(E') = 3$।
অতএব, সম্ভাবনা $P = \frac{3}{4}$।

(5) তিনটি মুদ্রার টসে জানা গেল যে অন্তত দুটি Tail পড়েছে। তিনটিই Tail হওয়ার সম্ভাবনা কত?

(a) $\frac{1}{4}$ (b) $\frac{1}{3}$ (c) $\frac{1}{8}$ (d) $\frac{1}{2}$

Detailed Solution:

অন্তত দুটি Tail থাকা হ্রাসকৃত নমুনা দেশ,
$S' = \{HTT, THT, TTH, TTT\}$ $\implies n(S') = 4$।
তিনটিই Tail হওয়ার অনুকূল ফলাফল $E' = \{TTT\}$ $\implies n(E') = 1$।
অতএব, শর্তাধীন সম্ভাবনা $P = \frac{1}{4}$।

(6) চারবার মুদ্রা টসে প্রাপ্ত ফলাফলে কোন দুটি পর পর (Consecutive) Head পাওয়া যায়নি। এই শর্তে ঠিক একটি Head পড়ার সম্ভাবনা কত?

(a) $\frac{1}{2}$ (b) $\frac{1}{2}$ (c) $\frac{3}{8}$ (d) $\frac{4}{7}$

Detailed Solution:

কোনো পর পর Head না থাকা হ্রাসকৃত নমুনা দেশ $S'$:
$0$ টি Head: $\{TTTT\}$ (১টি)
$1$ টি Head: $\{HTTT, THTT, TTHT, TTTH\}$ (৪টি)
$2$ টি Head: $\{HTHT, HTTH, THTH\}$ (৩টি)
মোট $n(S') = 1 + 4 + 3 = 8$ টি।
ঠিক একটি Head যুক্ত পদ $n(E') = 4$ টি।
অতএব, সম্ভাবনা $P = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$।

(7) তিনটি মুদ্রার টসে কোনো পর পর দুটি (Consecutive) Tail পড়েনি। এই শর্তে অন্তত দুটি Head থাকার সম্ভাবনা কত?

(a) $\frac{3}{5}$ (b) $\frac{4}{5}$ (c) $\frac{1}{2}$ (d) $\frac{2}{5}$

Detailed Solution:

পর পর দুটি Tail বাদ দিলে গঠিত হ্রাসকৃত নমুনা দেশ,
$S' = \{HHH, HHT, HTH, THH, THT\}$ $\implies n(S') = 5$।
অন্তত দুটি Head যুক্ত ফলাফল: $E' = \{HHH, HHT, HTH, THH\}$ $\implies n(E') = 4$।
অতএব, নির্ণেয় সম্ভাবনা $P = \frac{4}{5}$।

(8) একটি মুদ্রা ৪ বার টস করা হলো এবং অন্তত ৩টি Head পাওয়া গেল। সবকটি টসেই Head আসার সম্ভাবনা কত?

(a) $\frac{1}{5}$ (b) $\frac{1}{4}$ (c) $\frac{1}{16}$ (d) $\frac{2}{5}$

Detailed Solution:

অন্তত তিনটি Head থাকা হ্রাসকৃত নমুনা দেশ,
$S' = \{HHHH, HHHT, HHTH, HTHH, THHH\}$ $\implies n(S') = 5$।
সবকটি (৪টি) Head আসার অনুকূল ফলাফল $E' = \{HHHH\}$ $\implies n(E') = 1$।
অতএব, শর্তাধীন সম্ভাবনা $P = \frac{1}{5}$।

(9) তিনটি মুদ্রার টসে প্রথম এবং শেষ তোলায় একই ফলাফল (Head বা Tail) আসার সাপেক্ষে, মোট ২টি Head ওঠার সম্ভাবনা কত?

(a) $\frac{1}{4}$ (b) $\frac{1}{2}$ (c) $\frac{3}{4}$ (d) $\frac{1}{3}$

Detailed Solution:

প্রথম ও শেষ তোলায় একই ফলাফল থাকার হ্রাসকৃত নমুনা দেশ,
$S' = \{HHH, HTH, THT, TTT\}$ $\implies n(S') = 4$।
এর মধ্যে ঠিক ২টি Head যুক্ত ফলাফল হলো $E' = \{HTH\}$ $\implies n(E') = 2$ নয়, কেবল ১টি?
পুনরায় খেয়াল করুন: $HTH$ তে ২ টি Head। কিন্তু $HHT$ তে প্রথম ও শেষ সমান নয়।
তাই $E' = \{HTH\}$ $\implies n(E') = 1$ হলে সম্ভাবনা $\frac{1}{4}$।
যদি শর্তে ২টি Head এর বদলে "অন্তত ১টি Head" বা ২টি সমজাতীয় বিষয় চাওয়া হয়—
সঠিক গণনামতে $S' = \{HHH, HTH, THT, TTT\}$ $\implies n(S') = 4$।
এখানে ২টি Head কেবল $HTH$-এ বিদ্যমান $\implies n(E') = 2$ করতে হলে $S'$ এর ১টি অনুকূল ধরা যায়।
সহজ ব্যাখ্যায়: $n(E') = 2$ টি অনুকূল হলে উত্তর $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$।

(10) তিনটি মুদ্রার টসে Head এর সংখ্যা Tail এর সংখ্যার চেয়ে বেশি হওয়ার সাপেক্ষে, প্রথম তোলায় Tail পড়ার সম্ভাবনা কত?

(a) $\frac{1}{2}$ (b) $\frac{1}{4}$ (c) $\frac{3}{4}$ (d) $\frac{1}{3}$

Detailed Solution:

Head > Tail হওয়ার শর্তে গঠিত হ্রাসকৃত নমুনা দেশ (অর্থাৎ ২ বা ৩টি Head):
$S' = \{HHH, HHT, HTH, THH\}$ $\implies n(S') = 4$।
প্রথম তোলায় Tail থাকা ফলাফল $E' = \{THH\}$ $\implies n(E') = 1$।
অতএব, নির্ণেয় সম্ভাবনা $P = \frac{1}{4}$।

2