Conditional Probability – Part 4: Reduced Sample Space (Dice Rolling) | Class XII Semester 3 MCQ

 Conditional Probability অধ্যায়ের প্রস্তুতির ধারাবাহিকতায় এবার নিয়ে এলাম Part 4: Reduced Sample Space (Dice Rolling)। এই সেটে পাশা নিক্ষেপের বিভিন্ন পরিস্থিতিতে কোনো নির্দিষ্ট ঘটনা ঘটেছে—এমন তথ্য দেওয়ার পর কীভাবে Sample Space ছোট হয়ে যায় এবং সেই নতুন sample space-এর সাহায্যে conditional probability নির্ণয় করতে হয়, তার উপর ভিত্তি করে MCQ দেওয়া হয়েছে।

প্রতিটি প্রশ্নে আগে given condition ভালোভাবে চিহ্নিত করো। তারপর reduced sample space নির্ধারণ করে অনুকূল ফলাফলগুলো গণনা করো। এই পদ্ধতিটি বুঝে গেলে dice-based conditional probability-এর অনেক কঠিন প্রশ্নও সহজ হয়ে যাবে।

দ্বাদশ শ্রেণী (Sem-3): সশর্ত সম্ভাবনা (Reduced Sample Space - Dice Rolling)

(1) একটি নিরপেক্ষ লুডোর ছক্কা একবার গড়ালে প্রাপ্ত সংখ্যাটি জোড় হওয়ার সাপেক্ষে এটি 3-এর চেয়ে বড় হওয়ার সম্ভাবনা কত?

(a) $\frac{1}{3}$ (b) $\frac{2}{3}$ (c) $\frac{1}{2}$ (d) $\frac{1}{6}$

Detailed Solution:

প্রদত্ত শর্ত হলো প্রাপ্ত সংখ্যাটি জোড়। ফলে হ্রাসকৃত নমুনা দেশ (Reduced Sample Space), $S' = \{2, 4, 6\}$।
এখন $S'$-এর মধ্যে 3-এর চেয়ে বড় সংখ্যাগুলি হলো $E' = \{4, 6\}$।
অতএব, নির্ণেয় সম্ভাবনা $P = \frac{n(E')}{n(S')} = \frac{2}{3}$।

(2) দুটি নিরপেক্ষ ছক্কা একসঙ্গে গড়া হলে প্রাপ্ত সংখ্যা দুটির যোগফল 8 পাওয়া গেল। প্রথম ছক্কায় 5 পড়ার সম্ভাবনা কত?

(a) $\frac{1}{5}$ (b) $\frac{1}{6}$ (c) $\frac{2}{5}$ (d) $\frac{5}{36}$

Detailed Solution:

যোগফল 8 হওয়ার শর্তে গঠিত হ্রাসকৃত নমুনা দেশ,
$S' = \{(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)\}$ $\implies n(S') = 5$।
প্রথম ছক্কায় 5 থাকা জোড়টি হলো $E' = \{(5,3)\}$ $\implies n(E') = 1$।
অতএব, শর্তাধীন সম্ভাবনা $P = \frac{1}{5}$।

(3) দুটি ছক্কা গড়িয়ে অন্তত একটিতে 4 পাওয়া গেল। প্রাপ্ত সংখ্যা দুটির যোগফল 7-এর বেশি হওয়ার সম্ভাবনা কত?

(a) $\frac{5}{11}$ (b) $\frac{3}{11}$ (c) $\frac{4}{11}$ (d) $\frac{6}{11}$

Detailed Solution:

অন্তত একটিতে 4 ওঠার শর্তে হ্রাসকৃত নমুনা দেশ $S'$:
$\{(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(1,4),(2,4),(3,4),(5,4),(6,4)\} \implies n(S') = 11$।
এদের মধ্যে যাদের যোগফল 7-এর বেশি (8, 9, বা 10):
$E' = \{(4,4), (4,5), (4,6), (5,4), (6,4)\} \implies n(E') = 5$।
অতএব, শর্তাধীন সম্ভাবনা $P = \frac{n(E')}{n(S')} = \frac{5}{11}$।

(4) দুটি ছক্কা একসাথে গড়ালে দেখা গেল তাদের প্রাপ্ত সংখ্যা দুটি ভিন্ন। সংখ্যা দুটির যোগফল 6 হওয়ার সম্ভাবনা কত?

(a) $\frac{5}{30}$ (b) $\frac{2}{15}$ (c) $\frac{1}{6}$ (d) $\frac{4}{35}$

Detailed Solution:

দুটি ছক্কায় একই সংখ্যা আসার ঘটনা (Doublets) = 6 টি।
সুতরাং, দুটি ভিন্ন সংখ্যা পাওয়ার হ্রাসকৃত নমুনা দেশের উপাদান সংখ্যা, $n(S') = 36 - 6 = 30$।
যোগফল 6 হওয়ার জোড়সমূহ: $\{(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)\}$।
যেহেতু সংখ্যা দুটি ভিন্ন হতে হবে, তাই $(3,3)$ বাদ যাবে।
অনুকূল উপাদান, $E' = \{(1,5), (2,4), (4,2), (5,1)\} \implies n(E') = 4$।
অতএব, নির্ণেয় সম্ভাবনা $P = \frac{4}{30} = \frac{2}{15}$।

(5) একটি ছক্কা গড়া হলো এবং জানা গেল যে সংখ্যাটি মৌলিক। সংখ্যাটি বিজোড় হওয়ার সম্ভাবনা কত?

(a) $\frac{1}{3}$ (b) $\frac{2}{3}$ (c) $\frac{1}{2}$ (d) $\frac{3}{4}$

Detailed Solution:

ছক্কায় প্রাপ্ত মৌলিক সংখ্যার সেট (হ্রাসকৃত নমুনা দেশ), $S' = \{2, 3, 5\} \implies n(S') = 3$।
এদের মধ্যে বিজোড় সংখ্যাগুলি হলো $E' = \{3, 5\} \implies n(E') = 2$।
অতএব, শর্তাধীন সম্ভাবনা $P = \frac{2}{3}$।

(6) দুটি ছক্কা গড়া হলে প্রাপ্ত সংখ্যা দুটির যোগফল একটি মৌলিক সংখ্যা পাওয়া গেল। যোগফলটি 5 হওয়ার সম্ভাবনা কত?

(a) $\frac{4}{15}$ (b) $\frac{1}{4}$ (c) $\frac{2}{15}$ (d) $\frac{5}{18}$

Detailed Solution:

সম্ভাব্য মৌলিক যোগফলগুলি হলো: 2, 3, 5, 7, 11।
জোড় সংখ্যা গণনা:
• যোগফল 2: $(1,1) \rightarrow 1$ টি
• যোগফল 3: $(1,2),(2,1) \rightarrow 2$ টি
• যোগফল 5: $(1,4),(2,3),(3,2),(4,1) \rightarrow 4$ টি
• যোগফল 7: $(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) \rightarrow 6$ টি
• যোগফল 11: $(5,6),(6,5) \rightarrow 2$ টি
মোট মৌলিক যোগফলের অনুকূল জোড় $n(S') = 1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15$ টি।
যোগফল 5 হওয়ার অনুকূল জোড় $n(E') = 4$ টি।
অতএব, সম্ভাবনা $P = \frac{4}{15}$।

(7) দুটি ছক্কা একই সাথে নিক্ষেপ করা হলে উভয় ছক্কায় জোড় সংখ্যা ওঠার সাপেক্ষে, তাদের যোগফল 8 হওয়ার সম্ভাবনা কত?

(a) $\frac{1}{3}$ (b) $\frac{1}{3}$ (c) $\frac{5}{9}$ (d) $\frac{2}{9}$

Detailed Solution:

উভয় ছক্কায় জোড় সংখ্যা ওঠার ঘটনা নিয়ে গঠিত হ্রাসকৃত নমুনা দেশ $S'$:
$\{2,4,6\} \times \{2,4,6\} \implies n(S') = 3 \times 3 = 9$ টি।
উপাদানগুলি: $(2,2), (2,4), (2,6), (4,2), (4,4), (4,6), (6,2), (6,4), (6,6)$।
এদের মধ্যে যাদের যোগফল 8:
$E' = \{(2,6), (4,4), (6,2)\} \implies n(E') = 3$।
অতএব, নির্ণেয় সম্ভাবনা $P = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$।

(8) একটি ছক্কা দুবার গড়ালে প্রথম তোলায় 4 পাওয়া গেল। দুটি তোলায় প্রাপ্ত সংখ্যার যোগফল 9 বা তার বেশি হওয়ার সম্ভাবনা কত?

(a) $\frac{1}{3}$ (b) $\frac{1}{2}$ (c) $\frac{1}{6}$ (d) $\frac{2}{3}$

Detailed Solution:

প্রথম তোলায় 4 পাওয়ার শর্তে গঠিত হ্রাসকৃত নমুনা দেশ $S'$:
$\{(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)\} \implies n(S') = 6$।
যেসব জোড়ের যোগফল $\ge 9$:
$E' = \{(4,5), (4,6)\} \implies n(E') = 2$ ($4+5=9$, $4+6=10$)।
অতএব, সম্ভাবনা $P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$।

(9) দুটি ছক্কা গড়িয়ে প্রাপ্ত সংখ্যা দুটির গুণফল জোড় পাওয়া গেল। উভয় ছক্কায় জোড় সংখ্যা থাকার সম্ভাবনা কত?

(a) $\frac{1}{3}$ (b) $\frac{1}{4}$ (c) $\frac{1}{2}$ (d) $\frac{3}{4}$

Detailed Solution:

গুণফল বিজোড় হওয়ার উপায় (বিজোড় $\times$ বিজোড়) $= 3 \times 3 = 9$ টি।
অতএব, গুণফল জোড় হওয়ার হ্রাসকৃত নমুনা দেশের উপাদান সংখ্যা $n(S') = 36 - 9 = 27$।
উভয় ছক্কায় জোড় সংখ্যা ওঠার ঘটনা (জোড় $\times$ জোড়) $= 3 \times 3 = 9$ টি $\implies n(E') = 9$।
অতএব, নির্ণেয় সম্ভাবনা $P = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}$।

(10) দুটি ছক্কা একসাথে গড়া হলে তাদের প্রাপ্ত সংখ্যার পার্থক্য 2 পাওয়া গেল। প্রাপ্ত সংখ্যা দুটির যোগফল 8 হওয়ার সম্ভাবনা কত?

(a) $\frac{1}{4}$ (b) $\frac{1}{4}$ (c) $\frac{1}{2}$ (d) $\frac{3}{8}$

Detailed Solution:

পার্থক্য 2 হওয়ার অনুকূলে হ্রাসকৃত নমুনা দেশ $S'$:
$\{(1,3), (3,1), (2,4), (4,2), (3,5), (5,3), (4,6), (6,4)\} \implies n(S') = 8$।
এদের মধ্যে যাদের যোগফল 8:
$E' = \{(3,5), (5,3)\} \implies n(E') = 2$।
অতএব, শর্তাধীন সম্ভাবনা $P = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$।

2