Conditional Probability – Part 1: Set Operations & Formula Manipulation | Class XII Semester 3 MCQ

 Conditional Probability অধ্যায়ের প্রস্তুতিকে আরও শক্তিশালী করার জন্য নিয়ে এলাম Part 1: Set Operations & Formula Manipulation। এই MCQ সেটে conditional probability-এর সঙ্গে যুক্ত বিভিন্ন set operations এবং probability-এর গুরুত্বপূর্ণ সূত্রের সঠিক ব্যবহার ও manipulation নিয়ে প্রশ্ন দেওয়া হয়েছে।

প্রতিটি প্রশ্ন মন দিয়ে পড়ো এবং উত্তর দেওয়ার আগে event, intersection, union এবং conditional probability-এর সম্পর্ক ভালোভাবে বিশ্লেষণ করার চেষ্টা করো। শুধু উত্তর মুখস্থ না করে কোন সূত্র কেন প্রয়োগ করতে হবে, সেটি বোঝার চেষ্টা করো।

নিয়মিত অনুশীলনের মাধ্যমে তোমার conceptual clarity, formula-handling skill এবং problem-solving accuracy আরও উন্নত হবে। এবার শুরু করো Conditional Probability – Part 1!

Conditional Probability: Set Operations & Formula Manipulation (Class XII - WBCHSE)

(1) যদি $P(A) = 0.6$, $P(B) = 0.3$ এবং $P(A \cap B) = 0.2$ হয়, তবে $P(A|B)$-এর মান কত?

(A) $\frac{1}{2}$ (B) $\frac{1}{3}$ (C) $\frac{2}{3}$ (D) $\frac{3}{5}$

Detailed Solution:

আমরা জানি, $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
মান বসিয়ে পাই, $P(A|B) = \frac{0.2}{0.3} = \frac{2}{3}$।

(2) যদি $P(A) = \frac{1}{2}$, $P(B) = \frac{3}{8}$ এবং $P(A \cup B) = \frac{5}{8}$ হয়, তবে $P(B|A)$-এর মান কত?

(A) $\frac{3}{8}$ (B) $\frac{1}{2}$ (C) $\frac{1}{3}$ (D) $\frac{1}{4}$

Detailed Solution:

$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{3}{8} - \frac{5}{8} = \frac{4 + 3 - 5}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
অতএব, $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2}$।

(3) যদি $2P(A) = P(B) = \frac{5}{13}$ এবং $P(A|B) = \frac{2}{5}$ হয়, তবে $P(A \cup B)$-এর মান কত?

(A) $\frac{9}{26}$ (B) $\frac{7}{13}$ (C) $\frac{5}{13}$ (D) $\frac{11}{26}$

Detailed Solution:

$P(B) = \frac{5}{13} \implies P(A) = \frac{5}{26}$
$P(A \cap B) = P(A|B) \times P(B) = \frac{2}{5} \times \frac{5}{13} = \frac{2}{13}$
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{5}{26} + \frac{5}{13} - \frac{2}{13} = \frac{5 + 10 - 4}{26} = \frac{11}{26}$।

(4) যদি $P(A') = 0.7$, $P(B) = 0.4$ এবং $P(B|A) = 0.5$ হয়, তবে $P(A \cap B)$-এর মান কত?

(A) $0.20$ (B) $0.15$ (C) $0.12$ (D) $0.35$

Detailed Solution:

$P(A) = 1 - P(A') = 1 - 0.7 = 0.3$
আমরা জানি, $P(A \cap B) = P(B|A) \times P(A) = 0.5 \times 0.3 = 0.15$।

(5) যদি $A$ এবং $B$ দুটি এমন ঘটনা হয় যাতে $P(A) \neq 0$ এবং $P(B|A) = 1$, তবে নিচের কোনটি সঠিক?

(A) $B \subseteq A$ (B) $A \cap B = \Phi$ (C) $A \subseteq B$ (D) $A = B'$

Detailed Solution:

$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = 1 \implies P(A \cap B) = P(A)$
যেহেতু $A \cap B \subseteq A$, তাই $P(A \cap B) = P(A)$ নির্দেশ করে যে $A$ সেটটি $B$-এর উপসেট, অর্থাৎ $A \subseteq B$।

(6) ডি অর্গানের সূত্র (De Morgan's Law) ব্যবহার করে, $P(A' \cup B')$ কিসের সমান?

(A) $1 - P(A \cup B)$ (B) $P(A') \cdot P(B')$ (C) $1 - P(A \cap B)$ (D) $1 - P(A|B)$

Detailed Solution:

ডি অর্গানের সূত্রানুযায়ী, $A' \cup B' = (A \cap B)'$
সুতরাং, $P(A' \cup B') = P((A \cap B)') = 1 - P(A \cap B)$।

(7) $P(A' \cap B')$-কে শর্তাধীন সম্ভাবনার সূত্র দ্বারা প্রকাশ করলে নিচের কোনটি সঠিক?

(A) $P(A') - P(B')$ (B) $1 - P(A \cup B)$ (C) $1 - P(A \cap B)$ (D) $P(A')P(B|A)$

Detailed Solution:

ডি অর্গানের সূত্রানুযায়ী, $A' \cap B' = (A \cup B)'$
অতএব, $P(A' \cap B') = P((A \cup B)') = 1 - P(A \cup B)$।

(8) যদি $P(A) = 0.4$, $P(B) = 0.8$ এবং $P(B|A) = 0.6$ হয়, তবে $P(A \cup B)$-এর মান কত?

(A) $0.84$ (B) $0.76$ (C) $0.96$ (D) $0.90$

Detailed Solution:

$P(A \cap B) = P(B|A) \times P(A) = 0.6 \times 0.4 = 0.24$
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.4 + 0.8 - 0.24 = 0.96$।

(9) $P(A \cap B')$ (অর্থাৎ কেবল $A$ ঘটার সম্ভাবনা) নির্দেশ করার জন্য নিচের কোন সূত্রটি সঠিক?

(A) $P(B) - P(A \cap B)$ (B) $1 - P(A \cap B)$ (C) $P(A) - P(B)$ (D) $P(A) - P(A \cap B)$

Detailed Solution:

সেট অপারেশন অনুযায়ী, $A = (A \cap B) \cup (A \cap B')$ যেখানে ঘটনা দুটি পরস্পর বিচ্ছিন্ন।
সুতরাং, $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B') \implies P(A \cap B') = P(A) - P(A \cap B)$।

(10) যদি $P(A) = 0.5$, $P(B) = 0.3$ এবং $P(A \cap B) = 0.1$ হয়, তবে $P(A'|B')$-এর মান কত?

(A) $\frac{4}{7}$ (B) $\frac{3}{7}$ (C) $\frac{5}{7}$ (D) $\frac{2}{7}$

Detailed Solution:

$P(A \cup B) = 0.5 + 0.3 - 0.1 = 0.7$
$P(A' \cap B') = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0.7 = 0.3$
$P(B') = 1 - P(B) = 1 - 0.3 = 0.7$
$P(A'|B') = \frac{P(A' \cap B')}{P(B')} = \frac{0.3}{0.7} = \frac{3}{7}$।

(11) যদি $A$ এবং $B$ দুটি পরস্পর বিচ্ছিন্ন (mutually exclusive) ঘটনা হয় যেখানে $P(B) > 0$, তবে $P(A|B)$-এর মান কত?

(A) $1$ (B) $P(A)$ (C) $0$ (D) $P(B)$

Detailed Solution:

পরস্পর বিচ্ছিন্ন ঘটনার ক্ষেত্রে $A \cap B = \Phi \implies P(A \cap B) = 0$
অতএব, $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0}{P(B)} = 0$।

(12) যদি $P(A) = 0.6$, $P(A \cup B) = 0.8$ এবং $P(A|B) = 0.5$ হয়, তবে $P(B)$-এর মান কত?

(A) $0.3$ (B) $0.5$ (C) $0.2$ (D) $0.4$

Detailed Solution:

আমরা জানি $P(A \cap B) = P(A|B) \times P(B) = 0.5 P(B)$
এখন, $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
$\implies 0.8 = 0.6 + P(B) - 0.5 P(B)$
$\implies 0.2 = 0.5 P(B) \implies P(B) = \frac{0.2}{0.5} = 0.4$।

(13) যেকোনো দুটি ঘটনা $A$ এবং $B$-এর ক্ষেত্রে, $P(A \cap B'|B)$-এর মান কত?

(A) $0$ (B) $P(A|B)$ (C) $1$ (D) $P(A)$

Detailed Solution:

সূত্রানুযায়ী, $P(A \cap B' | B) = \frac{P((A \cap B') \cap B)}{P(B)}$
যেহেতু $(A \cap B') \cap B = A \cap (B' \cap B) = A \cap \Phi = \Phi$,
তাই লব $= P(\Phi) = 0 \implies P(A \cap B'|B) = 0$।

(14) যদি $P(A|B) > P(A)$ হয়, তবে $P(B|A)$ এবং $P(B)$-এর মধ্যে সম্পর্ক কী হবে?

(A) $P(B|A) < P(B)$ (B) $P(B|A) = P(B)$ (C) $P(B|A) > P(B)$ (D) কোনো সম্পর্ক নির্ণয় করা সম্ভব নয়

Detailed Solution:

$P(A|B) > P(A) \implies \frac{P(A \cap B)}{P(B)} > P(A) \implies P(A \cap B) > P(A) P(B)$
উভয়পক্ষকে $P(A)$ দিয়ে ভাগ করে পাই: $\frac{P(A \cap B)}{P(A)} > P(B) \implies P(B|A) > P(B)$।

(15) যদি $P(A) = \frac{1}{3}$, $P(B) = \frac{1}{4}$ এবং $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$ হয়, তবে $P(B'|A')$-এর মান কত?

(A) $\frac{5}{8}$ (B) $\frac{3}{4}$ (C) $\frac{7}{8}$ (D) $\frac{1}{2}$

Detailed Solution:

$P(A \cup B) = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{4 + 3 - 2}{12} = \frac{5}{12}$
$P(A' \cap B') = 1 - P(A \cup B) = 1 - \frac{5}{12} = \frac{7}{12}$
$P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} = \frac{8}{12}$
$P(B'|A') = \frac{P(A' \cap B')}{P(A')} = \frac{7/12}{8/12} = \frac{7}{8}$।

(16) কোনো ঘটনা $A$-এর জন্য $P(A|A)$-এর মান কত?

(A) $1$ (B) $0$ (C) $P(A)$ (D) অনির্ণেয়

Detailed Solution:

শর্তাধীন সম্ভাবনার মূল সূত্রানুযায়ী,
$P(A|A) = \frac{P(A \cap A)}{P(A)} = \frac{P(A)}{P(A)} = 1$ (ধরে নেওয়া হয় $P(A) > 0$)।

(17) যদি $P(A) = 0.7$, $P(B) = 0.4$ এবং $P(A \cap B') = 0.5$ হয়, তবে $P(B|A)$-এর মান কত?

(A) $\frac{5}{7}$ (B) $\frac{3}{7}$ (C) $\frac{2}{7}$ (D) $\frac{4}{7}$

Detailed Solution:

আমরা জানি, $P(A \cap B') = P(A) - P(A \cap B)$
$\implies 0.5 = 0.7 - P(A \cap B) \implies P(A \cap B) = 0.2$
অতএব, $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{0.2}{0.7} = \frac{2}{7}$।

(18) যদি $S$ নমুনা দেশ (sample space) হয় এবং $E$ যেকোনো একটি ঘটনা হয়, তবে $P(S|E)$-এর মান কত?

(A) $0$ (B) $P(E)$ (C) $1$ (D) $\frac{1}{P(E)}$

Detailed Solution:

যেহেতু $E \subseteq S$, তাই $S \cap E = E$
অতএব, $P(S|E) = \frac{P(S \cap E)}{P(E)} = \frac{P(E)}{P(E)} = 1$।

(19) যদি $P(A) = 0.3$, $P(B) = 0.6$ এবং $P(B|A) = 0.5$ হয়, তবে $P(A' \cap B)$-এর মান কত?

(A) $0.15$ (B) $0.45$ (C) $0.30$ (D) $0.25$

Detailed Solution:

$P(A \cap B) = P(B|A) \times P(A) = 0.5 \times 0.3 = 0.15$
আমরা জানি, $P(A' \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = 0.6 - 0.15 = 0.45$।

(20) $P(A \cup B | C)$ কে দুটি পৃথক শর্তাধীন সম্ভাবনার যোগফল ও বিয়োগফল রূপে কীভাবে প্রকাশ করা যায়?

(A) $P(A|C) + P(B|C) - P(A \cap B)$ (B) $P(A|C) + P(B|C)$ (C) $P(A|C) + P(B|C) - P(A \cap B | C)$ (D) $\frac{P(A \cup B)}{P(C)}$

Detailed Solution:

উপপাদ্য অনুসারে, শর্তাধীন সম্ভাবনার ক্ষেত্রে সংযোগের নিয়ম (Addition Law of Conditional Probability):
$P(A \cup B | C) = P(A|C) + P(B|C) - P(A \cap B | C)$।

2