Conditional Probability – Part 2: Set Operations & Formula Manipulation | Class XII Semester 3 MCQ

 Conditional Probability অধ্যায়ের অনুশীলনকে আরও এক ধাপ এগিয়ে নিয়ে যেতে নিয়ে এলাম Part 2: Set Operations & Formula Manipulation। এই সেটে conditional probability-এর বিভিন্ন set relationships, intersection, union এবং probability formula manipulation-এর উপর গুরুত্বপূর্ণ MCQ দেওয়া হয়েছে।

প্রতিটি প্রশ্ন ভালোভাবে পড়ে প্রথমে নিজে সমাধান করার চেষ্টা করো। বিশেষ করে A ∩ B, A ∪ B এবং conditional probability-এর মধ্যে সম্পর্ক বুঝে সূত্র প্রয়োগ করো। ছোট একটি ভুলও উত্তর পরিবর্তন করে দিতে পারে, তাই calculation-এর পাশাপাশি logical approach-এর উপরও গুরুত্ব দাও।

Concept পরিষ্কার করো, সূত্র সঠিকভাবে প্রয়োগ করো এবং নিয়মিত অনুশীলনের মাধ্যমে Semester 3 পরীক্ষার প্রস্তুতিকে আরও শক্তিশালী করো।

Class XII Math Practice

Score: 0 / 20 Completed: 0 / 20

Conditional Probability: Advanced Set Operations & Formula Manipulation

(1) যদি $P(A|B) = P(A|B')$ হয়, তবে ঘটনা $A$ এবং $B$-এর সম্পর্ক কী?

(A) $A$ এবং $B$ পরস্পর বিচ্ছিন্ন ঘটনা (B) $A$ এবং $B$ স্বাধীন ঘটনা (C) $P(A \cap B) = 0$ (D) $P(A) = P(B)$

Detailed Solution:

$P(A|B) = P(A|B') \implies \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(A \cap B')}{P(B')} = \frac{P(A) - P(A \cap B)}{1 - P(B)}$
$\implies P(A \cap B)(1 - P(B)) = P(B)[P(A) - P(A \cap B)]$
$\implies P(A \cap B) - P(A \cap B)P(B) = P(A)P(B) - P(A \cap B)P(B)$
$\implies P(A \cap B) = P(A)P(B)$।
সুতরাং $A$ এবং $B$ স্বাধীন ঘটনা (Independent Events)।

(3) তিনটি ঘটনা $A, B, C$-এর জন্য গুণন সূত্র (Multiplication Rule) অনুসারে $P(A \cap B \cap C)$-এর মান কোনটি?

(A) $P(A) \cdot P(B|A) \cdot P(C|B)$ (B) $P(A) \cdot P(B) \cdot P(C | A \cup B)$ (C) $P(A) \cdot P(B|A) \cdot P(C | A \cap B)$ (D) $P(A \cap B) \cdot P(C | A \cup B)$

Detailed Solution:

শর্তাধীন সম্ভাবনার সংজ্ঞা থেকে:
$P(A \cap B \cap C) = P((A \cap B) \cap C) = P(A \cap B) \cdot P(C | A \cap B)$
আবার $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$
সুতরাং, $P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B|A) \cdot P(C | A \cap B)$।

(4) যদি $P(A|B) = \frac{1}{3}$ এবং $P(A|B') = \frac{1}{4}$ হয়, এবং $P(B) = \frac{1}{2}$ হয়, তবে $P(B|A)$-এর মান কত?

(A) $\frac{3}{7}$ (B) $\frac{4}{7}$ (C) $\frac{5}{12}$ (D) $\frac{1}{2}$

Detailed Solution:

সম্পূর্ণ সম্ভাবনার উপপাদ্য (Total Probability Theorem) থেকে:
$P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|B')P(B')$
$= \left(\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{4} \times \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{6} + \frac{1}{8} = \frac{7}{24}$
আবার $P(A \cap B) = P(A|B)P(B) = \frac{1}{6}$
অতএব, $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{1/6}{7/24} = \frac{4}{7}$।

(5) যদি $A, B, C$ এমন তিনটি ঘটনা হয় যে $P(A|B \cap C) = 1$, তবে $P(A' | B \cap C)$-এর মান কত?

(A) $1$ (B) $P(A')$ (C) $0$ (D) $1 - P(B \cap C)$

Detailed Solution:

যেকোনো প্রদত্ত শর্তাধীন ক্ষেত্র $E$-এর জন্য, $P(A|E) + P(A'|E) = 1$ সত্য।
এখানে $E = B \cap C$।
সুতরাং, $P(A|B \cap C) + P(A'|B \cap C) = 1 \implies 1 + P(A'|B \cap C) = 1 \implies P(A'|B \cap C) = 0$।

(6) যদি $P(A \cap B) = 0.2$, $P(A \cap B') = 0.3$, এবং $P(A' \cap B) = 0.1$ হয়, তবে $P(A|A \cup B)$-এর মান কত?

(A) $\frac{2}{3}$ (B) $\frac{3}{5}$ (C) $\frac{1}{2}$ (D) $\frac{5}{6}$

Detailed Solution:

$P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B') = 0.2 + 0.3 = 0.5$
$P(A \cup B) = P(A \cap B') + P(A \cap B) + P(A' \cap B) = 0.3 + 0.2 + 0.1 = 0.6$
যেহেতু $A \subseteq (A \cup B)$, তাই $A \cap (A \cup B) = A$
অতএব, $P(A|A \cup B) = \frac{P(A \cap (A \cup B))}{P(A \cup B)} = \frac{P(A)}{P(A \cup B)} = \frac{0.5}{0.6} = \frac{5}{6}$।

(7) যেকোনো দুটি ঘটনা $A$ এবং $B$-এর জন্য $P(A'|B') + P(A|B') = ?$

(A) $P(B')$ (B) $1$ (C) $P(A')$ (D) $1 - P(A \cap B)$

Detailed Solution:

শর্তাধীন সম্ভাবনার মৌলিক বৈশিষ্ট্য অনুসারে, যেকোনো নির্দিষ্ট শর্ত $B'$-এর সাপেক্ষে কোনো ঘটনা এবং তার পুরক ঘটনার সম্ভাবনার যোগফল $1$ হয়।
গাণিতিকভাবে: $P(A'|B') + P(A|B') = \frac{P(A' \cap B') + P(A \cap B')}{P(B')} = \frac{P(B')}{P(B')} = 1$।

(8) যদি $P(A) = x$, $P(B) = y$, এবং $P(A \cap B) = z$ হয়, তবে $P(A' \cap B' | A \cup B)$-এর সঠিক রাশিমালাটি কোনটি?

(A) $\frac{1 - x - y + z}{x + y - z}$ (B) $0$ (C) $\frac{x + y - 2z}{x + y - z}$ (D) $\frac{1 - z}{x + y - z}$

Detailed Solution:

ডি অর্গানের সূত্রানুযায়ী, $A' \cap B' = (A \cup B)'$।
যেহেতু $(A \cup B)'$ এবং $(A \cup B)$ সম্পূর্ণ পরস্পর বিচ্ছিন্ন সেট (Disjoint Sets), তাদের ছেদ (Intersection) একটি শূন্য সেট ($\Phi$)।
লব $= P((A \cup B)' \cap (A \cup B)) = P(\Phi) = 0$।
সুতরাং, $P(A' \cap B' | A \cup B) = 0$।

(9) যদি $P(A|B) > P(A|B')$ হয়, তবে নিচের কোনটি অবশ্যই সত্য?

(A) $P(A \cap B) < P(A)P(B)$ (B) $P(A) > P(B)$ (C) $P(A \cap B) > P(A)P(B)$ (D) $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

Detailed Solution:

$P(A|B) > P(A|B') \implies \frac{P(A \cap B)}{P(B)} > \frac{P(A) - P(A \cap B)}{1 - P(B)}$
$\implies P(A \cap B)(1 - P(B)) > P(B)[P(A) - P(A \cap B)]$
$\implies P(A \cap B) - P(A \cap B)P(B) > P(A)P(B) - P(A \cap B)P(B)$
$\implies P(A \cap B) > P(A)P(B)$। (ধন্যাত্মক সহসম্বন্ধ বা Positive Correlation)

(10) যদি $P(A) = 0.4$, $P(B) = 0.5$, এবং $P(A \cup B) = 0.7$ হয়, তবে $P(A \Delta B | A)$-এর মান কত? (যেখানে $A \Delta B$ হলো Symmetric Difference)

(A) $0.25$ (B) $0.5$ (C) $0.4$ (D) $0.75$

Detailed Solution:

$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = 0.4 + 0.5 - 0.7 = 0.2$
Symmetric Difference $A \Delta B = (A \cap B') \cup (A' \cap B)$
এখন, $(A \Delta B) \cap A = ((A \cap B') \cup (A' \cap B)) \cap A = A \cap B'$
$P(A \cap B') = P(A) - P(A \cap B) = 0.4 - 0.2 = 0.2$
অতএব, $P(A \Delta B | A) = \frac{P(A \cap B')}{P(A)} = \frac{0.2}{0.4} = 0.5$।

(11) তিনটি ঘটনা $A, B, C$-এর জন্য $P(A \cup B | C)$-এর বিস্তৃতি কোনটি?

(A) $P(A|C) + P(B|C) - P(A \cap B)$ (B) $\frac{P(A \cap C) + P(B \cap C)}{P(C)}$ (C) $P(A|C) + P(B|C) - P(A \cap B | C)$ (D) $P(A|C) + P(B|C)$

Detailed Solution:

$P(A \cup B | C) = \frac{P((A \cup B) \cap C)}{P(C)} = \frac{P((A \cap C) \cup (B \cap C))}{P(C)}$
$= \frac{P(A \cap C) + P(B \cap C) - P(A \cap B \cap C)}{P(C)}$
$= \frac{P(A \cap C)}{P(C)} + \frac{P(B \cap C)}{P(C)} - \frac{P((A \cap B) \cap C)}{P(C)}$
$= P(A|C) + P(B|C) - P(A \cap B | C)$।

(12) যদি $P(A \cup B) = 0.8$, $P(A \cap B) = 0.3$, তবে $P(A' \cap B | A \cup B)$-এর রাশিমালা $P(A \cap B')$-এর সাপেক্ষে কেমন হবে?

(A) $\frac{0.5 - P(A \cap B')}{0.8}$ (B) $\frac{0.8 - P(A \cap B')}{0.3}$ (C) $\frac{0.3}{0.8}$ (D) $\frac{P(A \cap B')}{0.8}$

Detailed Solution:

আমরা জানি, $P(A \cup B) = P(A \cap B') + P(A \cap B) + P(A' \cap B)$
$\implies 0.8 = P(A \cap B') + 0.3 + P(A' \cap B) \implies P(A' \cap B) = 0.5 - P(A \cap B')$
যেহেতু $(A' \cap B) \subseteq (A \cup B)$, তাই ছেদ হবে $(A' \cap B)$।
সুতরাং, $P(A' \cap B | A \cup B) = \frac{P(A' \cap B)}{P(A \cup B)} = \frac{0.5 - P(A \cap B')}{0.8}$।

(13) যদি $A \subseteq B$ হয়, তবে $P(A|B')$ এবং $P(B|A)$-এর মান যথাক্রমে কত? (ধরা যাক $P(A) > 0, P(B') > 0$)

(A) $1$ এবং $0$ (B) $P(A)$ এবং $P(B)$ (C) $0$ এবং $1$ (D) অনির্ণেয় এবং $1$

Detailed Solution:

যেহেতু $A \subseteq B$:
1. $A \cap B' = \Phi \implies P(A \cap B') = 0 \implies P(A|B') = \frac{0}{P(B')} = 0$
2. $A \cap B = A \implies P(A \cap B) = P(A) \implies P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{P(A)}{P(A)} = 1$।

(14) যদি $P(A) = 0.6$, $P(B) = 0.3$, এবং $P(A|B) = 0.8$ হয়, তবে $P(A' | B')$-এর মান কত?

(A) $\frac{18}{35}$ (B) $\frac{3}{7}$ (C) $\frac{17}{35}$ (D) $\frac{4}{7}$

Detailed Solution:

$P(A \cap B) = P(A|B) \times P(B) = 0.8 \times 0.3 = 0.24$
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.6 + 0.3 - 0.24 = 0.66$
$P(A' \cap B') = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0.66 = 0.34$
$P(B') = 1 - P(B) = 1 - 0.3 = 0.7$
$P(A' | B') = \frac{P(A' \cap B')}{P(B')} = \frac{0.34}{0.7} = \frac{34}{70} = \frac{17}{35}$।

(15) $P(A \cap B \cap C)$ নির্ণয় করার জন্য নিচের কোন শর্তাধীন রূপটি সঠিকভাবে ব্যবহৃত হয়?

(A) $P(A|C) \cdot P(B|C) \cdot P(C)$ (B) $P(C) \cdot P(B|C) \cdot P(A | B \cap C)$ (C) $P(A) \cdot P(B|C) \cdot P(C|A)$ (D) $P(A \cap B) \cdot P(A \cap C)$

Detailed Solution:

গুণন সূত্র ক্রমানুসারে যেকোনোভাবে প্রয়োগ করা যায়:
$P(C \cap B \cap A) = P(C) \cdot P(B|C) \cdot P(A | B \cap C)$
কারণ $P(C) \cdot \frac{P(B \cap C)}{P(C)} \cdot \frac{P(A \cap B \cap C)}{P(B \cap C)} = P(A \cap B \cap C)$।

(16) যদি $P(A) = P(B) = P(C) = \frac{1}{4}$, $P(A \cap B) = P(B \cap C) = 0$, এবং $P(A \cap C) = \frac{1}{8}$ হয়, তবে অন্তত একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা ($P(A \cup B \cup C)$) কত?

(A) $\frac{3}{4}$ (B) $\frac{1}{2}$ (C) $\frac{5}{8}$ (D) $\frac{7}{8}$

Detailed Solution:

অন্তর্ভুক্তি-বর্জন নীতি (Inclusion-Exclusion Principle) অনুসারে:
$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(B \cap C) - P(A \cap C) + P(A \cap B \cap C)$
যেহেতু $A \cap B = \Phi$, তাই $A \cap B \cap C = \Phi \implies P(A \cap B \cap C) = 0$।
$P(A \cup B \cup C) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - 0 - 0 - \frac{1}{8} + 0 = \frac{3}{4} - \frac{1}{8} = \frac{5}{8}$।

(17) যদি $P(A|B) = 0.4$ এবং $P(B) = 0.5$ হয়, তবে $P(A' \cap B)$-এর মান কত?

(A) $0.2$ (B) $0.3$ (C) $0.1$ (D) $0.4$

Detailed Solution:

$P(A'|B) = 1 - P(A|B) = 1 - 0.4 = 0.6$
আমরা জানি, $P(A' \cap B) = P(A'|B) \times P(B) = 0.6 \times 0.5 = 0.3$।

(18) যদি $A$ এবং $B$ স্বাধীন ঘটনা হয় এবং $P(A) = 0.3$, $P(B) = 0.4$ হয়, তবে $P(A \cap B' | A \cup B)$-এর মান কত?

(A) $\frac{3}{20}$ (B) $\frac{12}{29}$ (C) $\frac{9}{29}$ (D) $\frac{7}{29}$

Detailed Solution:

যেহেতু $A$ এবং $B$ স্বাধীন:
$P(A \cap B) = P(A)P(B) = 0.3 \times 0.4 = 0.12$
$P(A \cap B') = P(A) - P(A \cap B) = 0.3 - 0.12 = 0.18$
$P(A \cup B) = 0.3 + 0.4 - 0.12 = 0.58$
যেহেতু $(A \cap B') \subseteq (A \cup B)$, তাই ছেদ হবে $(A \cap B')$।
$P(A \cap B' | A \cup B) = \frac{P(A \cap B')}{P(A \cup B)} = \frac{0.18}{0.58} = \frac{18}{58} = \frac{9}{29}$।

(19) ধরে নেওয়া যাক $P(A|B) + P(A'|B') = 1$। এটি নিশ্চিতভাবে নিচের কোন শর্তটিকে নির্দেশ করে?

(A) $P(A) = P(B)$ (B) $P(A|B) = P(A|B')$ (অর্থাৎ $A$ ও $B$ স্বাধীন) (C) $A$ ও $B$ পরস্পর বিচ্ছিন্ন (D) $P(A \cup B) = 1$

Detailed Solution:

আমরা জানি $P(A'|B') = 1 - P(A|B')$
প্রদত্ত সমীকরণ: $P(A|B) + 1 - P(A|B') = 1$
$\implies P(A|B) - P(A|B') = 0 \implies P(A|B) = P(A|B')$
এটি নির্দেশ করে যে $A$ ঘটনাটির ঘটা $B$ ঘটা বা না ঘটার ওপর নির্ভর করে না, অর্থাৎ $A$ ও $B$ স্বাধীন।

(20) যদি $P(A) = a$, $P(B) = b$ হয় এবং $A \subseteq B$ হয়, তবে $P(A' | B')$-এর মান কত?

(A) $1$ (B) $\frac{1 - a}{1 - b}$ (C) $0$ (D) $\frac{a}{b}$

Detailed Solution:

যেহেতু $A \subseteq B \implies B' \subseteq A'$।
সুতরাং, $A' \cap B' = B'$।
অতএব, $P(A' | B') = \frac{P(A' \cap B')}{P(B')} = \frac{P(B')}{P(B')} = 1$।

2