1
চিত্রণ বা ম্যাপিং চিনতে পারা (Is it a Mapping or Not?) - অনুশীলনী
সঠিক উত্তর: (b) না, এটি চিত্রণ নয়
বিশ্লেষণ:
একটি সম্বন্ধ $f: A \to B$ চিত্রণ হতে হলে $A$ সেটের **প্রতিটি** উপাদানের একটি নির্দিষ্ট চিত্র (image) $B$ সেটে থাকতে হয়।
এখানে $A$ সেটের উপাদান '$3$'-এর সাথে $B$ সেটের কোনো উপাদানের সংযোগ নেই। যেহেতু $A$-এর উপাদান '$3$'-এর কোনো চিত্র নেই, তাই $f$ একটি চিত্রণ নয়।
সঠিক উত্তর: (b) না, এটি ম্যাপিং নয়
বিশ্লেষণ:
চিত্রণ বা ম্যাপিংয়ের শর্তানুযায়ী, ডোমেন সেটের যেকোনো একটি উপাদানের কেবল এবং কেবলমাত্র **একটিই** ইমেজ (unique image) থাকতে পারে।
এখানে $A$ সেটের উপাদান '$a$'-এর দুটি ভিন্ন চিত্র ($p$ এবং $q$) পাওয়া যাচ্ছে, যা চিত্রণের নিয়ম বিরুদ্ধ। অতএব এটি চিত্রণ নয়।
সঠিক উত্তর: (c) $R_3 = \{(1, 4), (2, 4), (3, 5)\}$
বিশ্লেষণ:
• **$R_1$:** উপাদান $3$-এর কোনো ইমেজ নেই, তাই চিত্রণ নয়।
• **$R_2$:** উপাদান $1$-এর দুটি ইমেজ ($4$ এবং $5$) আছে, তাই চিত্রণ নয়।
• **$R_3$:** $A$-এর প্রতিটি উপাদান $\{1, 2, 3\}$-এর ঠিক একটি করে ইমেজ $B$-তে আছে। সুতরাং $R_3$ একটি সঠিক চিত্রণ।
• **$R_4$:** উপাদান $3$-এর কোনো ইমেজ নেই, তাই চিত্রণ নয়।
সঠিক উত্তর: (b) না, এটি চিত্রণ নয়
বিশ্লেষণ:
চিত্রণ $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$-এর ক্ষেত্রে ডোমেন সেট $\mathbb{R}$-এর **সকল** বাস্তব সংখ্যার জন্য $f(x)$ সংজ্ঞাত হতে হবে।
কিন্তু যেকোনো ঋণাত্মক বাস্তব সংখ্যার (যেমন $x = -4$) ক্ষেত্রে $f(-4) = \sqrt{-4} = 2i$, যা কোনো বাস্তব সংখ্যা নয় (কাল্পনিক সংখ্যা)।
যেহেতু ঋণাত্মক বাস্তব সংখ্যাগুলির কোনো ইমেজ কো-ডোমেন $\mathbb{R}$-এ পাওয়া যায় না, তাই এটি $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$-এ চিত্রণ নয়।
সঠিক উত্তর: (b) না, এটি চিত্রণ নয়
বিশ্লেষণ:
যদি আমরা ডোমেন সেট $\mathbb{Z}$ থেকে কোনো বিজোড় অখণ্ড সংখ্যা নিই (যেমন $x = 3$), তবে $f(3) = \frac{3}{2} = 1.5$।
কিন্তু $1.5 \notin \mathbb{Z}$ (কারণ এটি অখণ্ড সংখ্যা নয়)।
ফলে বিজোড় অখণ্ড সংখ্যাগুলির কোনো ইমেজ কো-ডোমেন $\mathbb{Z}$-এ উপস্থিত নেই। অতএব, $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ একটি চিত্রণ বা ম্যাপিং নয়।
চিত্রণ চিহ্নিতকরণ: এক-এক, বহু-এক, উপরিচিত্রণ ও ইনটু (চিত্রভিত্তিক প্রশ্ন)
সঠিক উত্তর: (a) Bijective (এক-এক ও উপরিচিত্রণ)
বিশ্লেষণ:
• $A$-এর ভিন্ন ভিন্ন উপাদানের ভিন্ন ভিন্ন ইমেজ $B$-তে আছে (Injective / One-one)।
• $B$-এর প্রতিটি উপাদানই অন্তত একটি করে প্রাক-প্রতিবিম্ব (pre-image) ধারণ করে, কোনো উপাদান অসংযুক্ত নেই (Surjective / Onto)।
যেহেতু এটি একই সাথে One-one এবং Onto, তাই এটি একটি **Bijective (বাইজেক্টিভ)** চিত্রণ।
সঠিক উত্তর: (b) One-one Into (Injective but not Surjective)
বিশ্লেষণ:
• $A$-এর পৃথক উপাদানের পৃথক ইমেজ রয়েছে, তাই এটি **One-one (এক-এক)**।
• $B$ সেটের উপাদান '$d$'-এর কোনো প্রাক-প্রতিবিম্ব নেই (Range $\neq$ Codomain)। অর্থাৎ এটি Onto নয়, বরং **Into (অন্তর্চিত্রণ)**।
সঠিক উত্তর: (c) Many-one Onto (Surjective but not Injective)
বিশ্লেষণ:
• $A$-এর একাধিক উপাদান ($1$ এবং $2$)-এর একই প্রতিবিম্ব ($x$) রয়েছে, তাই এটি **Many-one (বহু-এক)**।
• $B$ সেটের প্রতিটি উপাদান ($x, y$) কোনো না কোনো উপাদানের প্রতিবিম্ব, কোনো বাড়তি উপাদান খালি নেই। তাই এটি **Onto (উপরিচিত্রণ)**।
সঠিক উত্তর: (d) Many-one Into
বিশ্লেষণ:
• $a$ এবং $b$ উভয়েরই ইমেজ $p$, তাই এটি **Many-one**।
• $B$ সেটের উপাদান '$r$'-এর কোনো প্রাক-প্রতিবিম্ব নেই (Range $\{p, q\} \neq B$), তাই এটি **Into**।
সঠিক উত্তর: (c) Many-one Into
বিশ্লেষণ:
• $A$-এর সবকটি উপাদান ($1, 2, 3$)-এর একটিই ইমেজ $k$, ফলে এটি **Many-one**।
• $B$ সেটের $m$ উপাদানটির কোনো pre-image নেই, তাই এটি **Into**।
সঠিক উত্তর: (b) না, এটি Injective নয় (এটি Many-one)
বিশ্লেষণ:
Injective বা এক-এক চিত্রণের জন্য শর্ত হলো: $x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2)$।
এখানে $x \neq y$ হওয়া সত্ত্বেও $f(x) = f(y) = 1$। তাই চিত্রণটি Injective নয়, এটি Many-one।
সঠিক উত্তর: (b) না, এটি Surjective নয় (এটি Into)
বিশ্লেষণ:
Surjective বা Onto হওয়ার জন্য কো-ডোমেন $B$-এর প্রতিটি উপাদানের অন্তত একটি প্রাক-প্রতিবিম্ব থাকতে হয়।
এখানে $B$ সেটের উপাদান '$c$'-এর কোনো pre-image নেই (Range = $\{a, b\} \neq B$)। ফলে এটি Surjective নয়।
সঠিক উত্তর: (c) Surjective but not Injective
বিশ্লেষণ:
• একাধিক উপাদান একই ইমেজে যুক্ত ($1, 2 \to p$ এবং $3, 4 \to q$), তাই এটি Injective নয় (Many-one)।
• $B$ সেটের সমস্ত উপাদান ($p, q$) কভারড হয়েছে, তাই এটি **Surjective (Onto)**।
সঠিক উত্তর: (a) হ্যাঁ, এটি Bijective (এক-এক উপরিচিত্রণ)
বিশ্লেষণ:
তীরচিহ্নগুলো জ্যামিতিকভাবে ক্রস করলেও গাণিতিক বিচারে:
১. $A$-এর ৪টি উপাদানের ৪টি আলাদা ইমেজ $B$-তে আছে (One-one/Injective)।
২. $B$-এর ৪টি উপাদানের প্রত্যেকেরই অনন্য pre-image আছে (Onto/Surjective)।
সুতরাং, এটি একটি **Bijective** ম্যাপিং।
সঠিক উত্তর: (b) Neither Injective nor Surjective
বিশ্লেষণ:
• $1$ এবং $2$ এর মান একই ($y$), তাই এটি **Injective নয়** (Many-one)।
• $B$ সেটের উপাদান '$x$'-এর কোনো pre-image নেই, তাই এটি **Surjective নয়** (Into)।
সুতরাং, এটি **Neither Injective nor Surjective** (বহু-এক অন্তর্চিত্রণ)।
সংযোজক চিত্রণ ও বিপরীত চিত্রণ (Composition & Inverse Mappings)
সঠিক উত্তর: (a) p
বিশ্লেষণ:
সংযোজক চিত্রণের নিয়ম অনুযায়ী: $(g \circ f)(1) = g(f(1))$
• চিত্র থেকে, $f(1) = y$
• আবার, $g(y) = q$
সুতরাং, $(g \circ f)(1) = g(y) = p$।
সঠিক উত্তর: (b) n
বিশ্লেষণ:
$(g \circ f)(a) = g(f(a))$
• চিত্র থেকে, $f(a) = 1$
• আবার, $g(1) = n$
অতএব, $(g \circ f)(a) = g(1) = n$।
সঠিক উত্তর: (b) {q}
বিশ্লেষণ:
• $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(1) = q$
• $(g \circ f)(y) = g(f(y)) = g(2) = q$
যেহেতু $g \circ f$-এর অধীনে $A$-এর সমস্ত উপাদানের আউটপুট কেবল $\{q\}$, তাই এর Range হলো $\{q\}$।
সঠিক উত্তর: (b) না, সম্ভব নয়
বিশ্লেষণ:
$f \circ g$ (অর্থাৎ $f(g(x))$) সংজ্ঞাত হতে হলে প্রথম প্রক্রিয়া প্রয়োগকারী চিত্রণ $g$-এর পাল্লা (Range of $g$) অবশ্যই পরবর্তী চিত্রণ $f$-এর ডোমেন (Domain of $f$)-এর উপসেট হতে হবে।
এখানে $g$-এর পাল্লা হলো $C$, কিন্তু $f$-এর ডোমেন হলো $A$ ($C \not\subseteq A$)। তাই $f \circ g$ সংজ্ঞাত নয়। (এখানে কেবল $g \circ f$ সংজ্ঞাত)।
সঠিক উত্তর: (a) হ্যাঁ, কারণ $f$ একটি Bijective
বিশ্লেষণ:
কোনো চিত্রণ $f$-এর বিপরীত চিত্রণ $f^{-1}$ কেবল তখনই সম্ভব, যখন $f$ একটি **Bijective** (এক-এক এবং উপরিচিত্রণ) হয়।
প্রদত্ত চিত্রে $f$ এক-এক এবং উপরিচিত্রণ উভয় শর্তই পূরণ করে, তাই এর বিপরীত চিত্রণ $f^{-1}: B \to A$ বিদ্যমান।
সঠিক উত্তর: (b) না, কারণ $f$ চিত্রণটি এক-এক (One-one) নয়
বিশ্লেষণ:
এখানে $f(1) = x$ এবং $f(2) = x$। যদি বিপরীত প্রক্রিয়া $f^{-1}: B \to A$ বিবেচনা করা হয়, তবে $x$-এর দুটি ইমেজ ($1$ এবং $2$) পাওয়া যাবে, যা চিত্রণের সংজ্ঞাবিরোধী। তাই $f$ এক-এক না হওয়ায় $f^{-1}$ বিদ্যমান নেই।
সঠিক উত্তর: (c) কারণ $f$ উপরিচিত্রণ নয়
বিশ্লেষণ:
বিপরীত সম্বন্ধ $f^{-1}: B \to A$-এর ক্ষেত্রে $B$ হবে ডোমেন সেট। কিন্তু $B$ সেটের উপাদান '$3$'-এর সাথে $A$-এর কোনো সংযোগ নেই। ডোমেনের উপাদান অসংযুক্ত থাকলে তা চিত্রণ হতে পারে না। তাই $f$ Onto না হওয়ায় $f^{-1}$ বিদ্যমান নেই।
সঠিক উত্তর: (c) 3
বিশ্লেষণ:
চিত্রানুসারে $f(3) = y$।
যেহেতু $f$ একটি বাইজেক্টিভ চিত্রণ, তাই $f(3) = y \iff f^{-1}(y) = 3$।
সঠিক উত্তর: (b) বিপরীত চিত্রণ (Inverse Mapping, $g = f^{-1}$)
বিশ্লেষণ:
এখানে $f(a) = 1 \implies g(1) = a$ এবং $f(b) = 2 \implies g(2) = b$।
যেহেতু $(g \circ f)(x) = I_A(x)$ এবং $(f \circ g)(y) = I_B(y)$, তাই $g$ চিত্রণটি হলো $f$-এর **Inverse Mapping** বা বিপরীত চিত্রণ ($g = f^{-1}$)।
সঠিক উত্তর: (b) $f^{-1} \circ g^{-1}: C \to A$
বিশ্লেষণ:
উপপাদ্য অনুসারে (Reversal Law of Inverse Composite):
যদি $f: A \to B$ এবং $g: B \to C$ বাইজেক্টিভ হয়, তবে $(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$।
কারণ প্রথমে $g^{-1}: C \to B$ এবং তারপর $f^{-1}: B \to A$ কাজ করে, ফলে সামগ্রিক ম্যাপিংটি $C \to A$-তে সংজ্ঞাত হয়।
অভেদ চিত্রণ ও সমসংসংজ্ঞাত চিত্রণ (Identity Mapping & Equal Functions)
সঠিক উত্তর: (a) হ্যাঁ, কারণ প্রতিটি $x \in A$-এর জন্য $f(x) = x$
বিশ্লেষণ:
কোনো সেট $A$-এর ওপর সংজ্ঞাত চিত্রণ $I_A: A \to A$-কে **অভেদ চিত্রণ (Identity Mapping)** বলা হয় যদি সেটের প্রতিটি উপাদান নিজের সাথেই চিত্রিত হয়, অর্থাৎ $\forall x \in A, I_A(x) = x$। চিত্রে $f(1)=1, f(2)=2, f(3)=3$, তাই $f = I_A$।
সঠিক উত্তর: (c) এক-এক এবং উপরিচিত্রণ উভয়ই (Bijective)
বিশ্লেষণ:
যেকোনো অভেদ চিত্রণ (Identity Mapping) সর্বদা **এক-এক (One-one)** (কারণ ভিন্ন উপাদানের প্রতিবিম্ব ভিন্ন) এবং **উপরিচিত্রণ (Onto)** (কারণ কো-ডোমেনের প্রতিটি উপাদানের প্রাক-প্রতিবিম্ব থাকে)। সুতরাং, অভেদ চিত্রণ সর্বদা একটি **Bijective** চিত্রণ।
সঠিক উত্তর: (a) হ্যাঁ, কারণ উভয় চিত্রণের ডোমেন, কো-ডোমেন এবং প্রতিটি পদের প্রতিবিম্ব একই
বিশ্লেষণ:
দুটি চিত্রণ $f$ এবং $g$ সমান ($f = g$) হওয়ার শর্তসমূহ:
১. $\text{Domain}(f) = \text{Domain}(g) = A$
২. $\text{Codomain}(f) = \text{Codomain}(g) = B$
৩. ডোমেনের প্রতিটি $x \in A$-এর জন্য $f(x) = g(x)$।
এখানে $f(1) = g(1) = 3$ এবং $f(2) = g(2) = 4$। সুতরাং, $f = g$।
সঠিক উত্তর: (b) না, কারণ $f(x) = p$ কিন্তু $g(x) = q$
বিশ্লেষণ:
সমতা প্রতিষ্ঠার জন্য কেবল ডোমেন ও কো-ডোমেন একই হওয়া যথেষ্ট নয়; ডোমেনের প্রতিটি উপাদানের জন্য মানও সমান হতে হয় ($f(a) = g(a)$)।
এখানে $f(x) = p$, কিন্তু $g(x) = q$। যেহেতু $f(x) \neq g(x)$, তাই $f \neq g$।
সঠিক উত্তর: (a) $I_A$ ($A$ সেটের ওপর অভেদ চিত্রণ)
বিশ্লেষণ:
যেকোনো বাইজেক্টিভ চিত্রণ $f: A \to B$-এর ক্ষেত্রে:
• $(f^{-1} \circ f)(x) = f^{-1}(f(x)) = f^{-1}(y) = x = I_A(x)$
অর্থাৎ, $f^{-1} \circ f = I_A$ (ডোমেন $A$-এর অভেদ চিত্রণ)।
[উল্লেখ্য: $f \circ f^{-1} = I_B$ হয়]।
চিত্রণ বিষয়ভিত্তিক মাস্টার ট্র্যাপ সেট (প্রশ্ন ৩১ - ৪০)
সঠিক উত্তর: (b) এটি আদৌ কোনো চিত্রণ বা অপেক্ষক নয়
পরীক্ষার ট্র্যাপ ও বিশ্লেষণ:
শিক্ষার্থীরা প্রায়ই ডোমেনের সব পদ খেয়াল করে না। চিত্রণ হওয়ার প্রধান শর্ত হলো ডোমেন $A$-এর **প্রতিটি** উপাদানের একটি নির্দিষ্ট প্রতিবিম্ব থাকতে হবে। চিত্রে $3 \in A$-এর কোনো প্রতিবিম্ব নেই! তাই $f$ কোনো চিত্রণই নয়।
সঠিক উত্তর: (b) বহু-এক এবং অন্তশ্চিত্রণ (Many-one Into)
পরীক্ষার ট্র্যাপ ও বিশ্লেষণ:
এখানে $1$ এবং $2$ উভয়ের প্রতিবিম্ব একই ($x$), তাই এটি **বহু-এক (Many-one)**। আবার কো-ডোমেন $B$-এর $z$ উপাদানটি খালি পড়ে আছে (এর কোনো প্রাক-প্রতিবিম্ব নেই), তাই এটি **অন্তশ্চিত্রণ (Into)**। শিক্ষার্থীরা অনেক সময় কেবল ডোমেন দেখে Onto/Into নির্ধারণে ভুল করে।
সঠিক উত্তর: (a) $f(-2) = f(2) = 2$ কিন্তু $-2 \neq 2$
পরীক্ষার ট্র্যাপ ও বিশ্লেষণ:
ডোমেন যদি $\mathbb{R}$ হয়, তবে পরমমান অপেক্ষক $f(x) = |x|$ সর্বদা বহু-এক (Many-one) হয়, কারণ দুটি বিপরীত চিহ্নের সংখ্যার প্রতিবিম্ব একই আসে ($|-2| = |2| = 2$)। [মনে রাখবে: ডোমেন যদি কেবল ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা $\mathbb{R}^+$ হতো, তবে এটি এক-এক হতো!]
সঠিক উত্তর: (c) $\text{Range}(f) \subseteq \text{Domain}(g)$ হতে হবে
পরীক্ষার ট্র্যাপ ও বিশ্লেষণ:
শিক্ষার্থীরা ভুলবশত মনে করে দুটি সেটের প্রসার ও ডোমেন সম্পূর্ণ সমান হতে হবে। কিন্তু আসল গাণিতিক শর্তটি হলো: $f$-এর প্রসার (Range) যেন $g$-এর ডোমেনের উপসেট (Subset) হয়, অর্থাৎ $\text{Range}(f) \subseteq \text{Domain}(g)$।
সঠিক উত্তর: (b) না, কারণ $f$ উপরিচিত্রণ (Onto) নয়
পরীক্ষার ট্র্যাপ ও বিশ্লেষণ:
বিপরীত চিত্রণ ($f^{-1}$) থাকার জন্য চিত্রণটিকে অবশ্যই **এক-এক এবং উপরিচিত্রণ উভয়ই (Bijective)** হতে হয়। এখানে $f$ এক-এক হলেও এটি উপরিচিত্রণ নয় (কারণ $z \in B$ অনাবৃত)। যদি আমরা বিপরীত মুখী তীর আঁকি, তবে $z$-এর কোনো ইমেজ থাকবে না, যা চিত্রণের সংজ্ঞা ভঙ্গ করে।
সঠিক উত্তর: (b) না, কারণ অভেদ চিত্রণ সর্বদা একই সেটের ওপর সংজ্ঞাত হয়
পরীক্ষার ট্র্যাপ ও বিশ্লেষণ:
অভেদ চিত্রণ (Identity Mapping)-এর প্রাথমিক শর্তই হলো ডোমেন এবং কো-ডোমেনকে **একই সেট** হতে হবে ($I_A: A \to A$)। এখানে ডোমেন $A$ হলেও কো-ডোমেন $B \neq A$। তাই $f(x)=x$ মেনে চললেও এটি অভেদ চিত্রণ নয় (এটি কেবল একটি Inclusion mapping)।
সঠিক উত্তর: (b) $2^3 = 8$
পরীক্ষার ট্র্যাপ ও বিশ্লেষণ:
ছাত্রছাত্রীরা সুত্র গুলিয়ে ফেলে $n^m$ নাকি $m^n$ হবে বুঝতে পারে না। মনে রাখার সহজ নিয়ম: **(কো-ডোমেনের উপাদান সংখ্যা)(ডোমেনের উপাদান সংখ্যা)** = $n(B)^{n(A)} = 2^3 = 8$।
সঠিক উত্তর: (b) না, কারণ $n(A) > n(B)$
পরীক্ষার ট্র্যাপ ও বিশ্লেষণ:
এক-এক (One-one) চিত্রণ তৈরি করতে হলে কো-ডোমেনের উপাদান সংখ্যা ডোমেনের সমান বা বেশি হতে হয় ($n(B) \ge n(A)$)। এখানে ডোমেনে ৪টি এবং কো-ডোমেনে ৩টি উপাদান রয়েছে, ফলে অন্তত দুটি উপাদানকে একই ইমেজে যেতেই হবে (Pigeonhole Principle)। তাই কোনো এক-এক চিত্রণ সম্ভব নয়।
সঠিক উত্তর: (b) $f \circ g \neq g \circ f$
পরীক্ষার ট্র্যাপ ও বিশ্লেষণ:
চিত্রণের সংযোজন (Composition of Mappings) সাধারণত বিনিময় নিয়ম (Commutative Law) মেনে চলে না।
এখানে, $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x+1) = (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$
অথচ, $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^2) = x^2 + 1$
স্পষ্টতই, $(x+1)^2 \neq x^2 + 1$।
সঠিক উত্তর: (a) Range of $f = f(A) = B$ (প্রসার = কো-ডোমেন)
পরীক্ষার ট্র্যাপ ও বিশ্লেষণ:
চিত্রণ বহু-এক (Many-one) হলেও সেটি উপরিচিত্রণ (Onto) হতে পারে, যদি কো-ডোমেনের প্রতিটি পদের অন্তত একটি প্রাক-প্রতিবিম্ব থাকে। এর গাণিতিক অর্থ হলো প্রসার (Range) এবং কো-ডোমেন (Codomain) সম্পূর্ণ অভিন্ন হবে ($f(A) = B$)। চিত্রটিতে $B = \{k\}$ এবং Range-ও $\{k\}$, তাই এটি বহু-এক এবং উপরিচিত্রণ।
7
8
