1
সম্বন্ধ (Relation) প্রশ্ন সেট (প্রশ্ন ১ - ১০)
সঠিক উত্তর: (c) $2^6 = 64$
বিশ্লেষণ:
সম্বন্ধের সংখ্যা হলো $A \times B$-এর উপসেট (Subset) সংখ্যা, অর্থাৎ $2^{n(A) \times n(B)} = 2^{2 \times 3} = 2^6 = 64$।
সঠিক উত্তর: (b) $\{1, 2\}$
বিশ্লেষণ:
সম্বন্ধের (Relation) ক্ষেত্রে ডোমেন হলো কেবল সেইসব পদের সেট যেখান থেকে তীর বের হয়েছে। এখানে $3 \in A$-এর কোনো সংযোগ নেই, তাই $\text{Domain}(R) = \{1, 2\}$।
সঠিক উত্তর: (b) না, কারণ $(3,3) \notin R_1$
বিশ্লেষণ:
সস্বসং (Reflexive) হওয়ার শর্ত হলো সেটের **প্রত্যেকটি** পদ $a \in A$-এর জন্য $(a,a) \in R$ থাকতে হবে। যেহেতু $3 \in A$, কিন্তু চিত্রে $(3,3)$ নেই, তাই এটি সস্বসং নয়।
সঠিক উত্তর: (b) এটি সস্বসং (Reflexive) কিন্তু অভেদ (Identity) নয়
বিশ্লেষণ:
অভেদ সম্বন্ধ ($I_A$) হতে গেলে **কেবলমাত্র** $(a,a)$ ধরনের পদ থাকতে পারবে। কিন্তু সস্বসং (Reflexive) হতে গেলে সকল $(a,a)$ থাকার পাশাপাশি অতিরিক্ত পদ (যেমন $(1,2)$) থাকতে পারে। তাই এটি Reflexive কিন্তু Identity নয়।
সঠিক উত্তর: (c) $R_3$ প্রতিসম নয়, কারণ $(2,3) \in R_3$ কিন্তু $(3,2) \notin R_3$
বিশ্লেষণ:
চিত্রে $2 \to 3$ একটি একমুখী তীর রয়েছে, যার বিপরীত তীর $3 \to 2$ নেই। প্রতিসম হতে হলে সেটের **সকল** সম্পর্কের জন্য বিপরীত তীর থাকতে হবে।
সঠিক উত্তর: (b) এটি প্রতিসম (Symmetric) ও সংক্রমী (Transitive) কিন্তু সস্বসং নয়
বিশ্লেষণ:
১. $\Phi$-তে $(a,a)$ পদ নেই, তাই এটি Reflexive নয়।
২. প্রতিসম ও সংক্রমী হওয়ার পূর্বশর্ত না মানায় $\Phi$ তাত্ত্বিকভাবে (Vacuously True) **প্রতিসম (Symmetric) এবং সংক্রমী (Transitive)**।
সঠিক উত্তর: (a) $(1, 3)$ সংযোগটি
বিশ্লেষণ:
সংক্রমী (Transitive) শর্তানুসারে: যদি $(a,b) \in R$ এবং $(b,c) \in R$ হয়, তবে অবশ্যই $(a,c) \in R$ হতে হবে। এখানে $(1,2) \in R_4$ এবং $(2,3) \in R_4$ আছে, কিন্তু $(1,3)$ অনুপস্থিত। তাই $(1,3)$ যোগ করতে হবে।
সঠিক উত্তর: (a) সেট $B$ থেকে সেট $A$-এর দিকে ($a \to 1$ এবং $b \to 2$)
বিশ্লেষণ:
যদি $R \subseteq A \times B$ হয়, তবে বিপরীত সম্বন্ধ $R^{-1} \subseteq B \times A$ হয়। অর্থাৎ $R^{-1} = \{(y,x) : (x,y) \in R\}$। তাই তীরের অভিমুখ $B \to A$ হবে।
সঠিক উত্তর: (b) বিপ্রতিসম (Antisymmetric)
বিশ্লেষণ:
বিপ্রতিসম (Antisymmetric)-এর শর্ত হলো: যদি $(a,b) \in R$ এবং $(b,a) \in R$ হয়, তবে $a = b$ হতে হবে। এখানে $(1,2)$ আছে কিন্তু $(2,1)$ নেই, তাই এটি বিপ্রতিসম সম্বন্ধ।
সঠিক উত্তর: (b) $\{1, 2\}$
বিশ্লেষণ:
কোনো পদের সমতুল্যতা শ্রেণী $[x]$ বলতে বোঝায় সেট $A$-এর সেইসব উপাদান $y$-এর সেট যাদের সাথে $x$-এর সম্বন্ধ রয়েছে ($x R y$)। চিত্রে $1$-এর সাথে কেবল $1$ এবং $2$ যুক্ত। তাই $[1] = \{1, 2\}$।
সম্বন্ধ (Relation) সেমিস্টার ৩ প্রশ্ন সেট
সঠিক উত্তর: (c) $2^6$
বিশ্লেষণ:
$n$ টি পদবিশিষ্ট সেটে সস্বসং সম্বন্ধের সংখ্যার সূত্র হলো $2^{n^2 - n}$।
এখানে $n = 3$, সুতরাং মোট সস্বসং সম্বন্ধ $= 2^{3^2 - 3} = 2^{9 - 3} = 2^6 = 64$।
সঠিক উত্তর: (b) $\{1, 2, 3\}$
বিশ্লেষণ:
সমীকরণ $x + 2y = 8 \implies x = 8 - 2y$।
যেহেতু $x, y \in \mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$:
- $y = 1 \implies x = 6 \in \mathbb{N}$
- $y = 2 \implies x = 4 \in \mathbb{N}$
- $y = 3 \implies x = 2 \in \mathbb{N}$
- $y = 4 \implies x = 0 \notin \mathbb{N}$
সুতরাং, $R = \{(6,1), (4,2), (2,3)\}$। অতএব, $\text{Range}(R) = \{1, 2, 3\}$।
সঠিক উত্তর: (d) উপরের কোনটিই নয়
বিশ্লেষণ:
- **Reflexive নয়:** $a = \frac{1}{2}$ এর জন্য $\frac{1}{2} \le \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$ অসত্য।
- **Symmetric নয়:** $(1, 4) \in R$ কারণ $1 \le 16$, কিন্তু $(4, 1) \notin R$ কারণ $4 \le 1$ অসত্য।
- **Transitive নয়:** $(3, -2) \in R$ ($3 \le 4$) এবং $(-2, 1) \in R$ ($-2 \le 1$), কিন্তু $(3, 1) \notin R$ ($3 \le 1$ অসত্য)।
সঠিক উত্তর: (c) সমতুল্যতা সম্বন্ধ (Equivalence Relation)
বিশ্লেষণ:
- **Reflexive:** $a - a = 0 = 5 \times 0$, যা $5$ দ্বারা বিভাজ্য।
- **Symmetric:** $a - b = 5k \implies b - a = 5(-k)$, যা $5$ দ্বারা বিভাজ্য।
- **Transitive:** $a - b = 5k$ এবং $b - c = 5m \implies a - c = 5(k+m)$, যা $5$ দ্বারা বিভাজ্য।
যেহেতু তিনটিই সিদ্ধ করে, তাই এটি একটি **Equivalence Relation** (Congruence Modulo 5)।
সঠিক উত্তর: (a) $R_1 \cap R_2$
বিশ্লেষণ:
দুটি সমতুল্যতা সম্বন্ধের **চ্ছেদ (Intersection) সর্বদা একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ হয়**। তবে তাদের ইউনিয়ন ($R_1 \cup R_2$) সবসময় সংক্রমী (Transitive) নাও হতে পারে, তাই এটি সর্বদা সমতুল্যতা সম্বন্ধ হয় না।
সঠিক উত্তর: (b) $(2, 2)$
বিশ্লেষণ:
এখানে $(2, 1) \in R$ এবং $(1, 2) \in R$ রয়েছে। Transitive হওয়ার শর্তানুসারে $(2, 2)$ অবশ্যই $R$-এ থাকতে হবে। কিন্তু চিত্রে বা সেটে $(2, 2)$ অনুপস্থিত। তাই নূন্যতম $(2, 2)$ যোগ করতেই হবে।
সঠিক উত্তর: (c) $\{\dots, -6, -2, 2, 6, 10, \dots\}$
বিশ্লেষণ:
$[2] = \{x \in \mathbb{Z} : x R 2\} = \{x \in \mathbb{Z} : x - 2 = 4k, k \in \mathbb{Z}\}$।
$\implies x = 4k + 2$।
$k = 0 \implies 2$, $k = 1 \implies 6$, $k = -1 \implies -2$, $k = 2 \implies 10$, $k = -2 \implies -6$।
অতএব, $[2] = \{\dots, -6, -2, 2, 6, 10, \dots\}$।
সঠিক উত্তর: (c) আংশিক ক্রম সম্বন্ধ (Partial Order Relation)
বিশ্লেষণ:
১. **Reflexive:** যেকোনো $a \in \mathbb{Z}^+$-এর জন্য $a \mid a$।
২. **Antisymmetric:** $a \mid b$ এবং $b \mid a \implies a = b$।
৩. **Transitive:** $a \mid b$ এবং $b \mid c \implies a \mid c$।
যেহেতু এটি Reflexive, Antisymmetric এবং Transitive, তাই এটি একটি **Partial Order Relation (Poset)**।
সঠিক উত্তর: (a) $A \times A$
বিশ্লেষণ:
- $R$-এ $(1,2)$ এবং $(2,3)$ আছে $\implies$ Transitive করতে $(1,3)$ লাগবে।
- Symmetric করতে এদের বিপরীত জোড়গুলো: $(2,1), (3,2), (3,1)$ লাগবে।
- পুনরায় Transitivity প্রয়োগ করলে $3 \times 3 = 9$ টি জোড়ই চলে আসবে, যা সম্পূর্ণ **$A \times A$** বা সর্বজনীন সম্বন্ধ (Universal Relation)।
সঠিক উত্তর: (d) Reflexive নয়, কিন্তু Symmetric এবং Transitive
বিশ্লেষণ:
- **Reflexive নয়:** কারণ $(a,a), (b,b) \notin \Phi$ (যেহেতু $A$ একটি অ-শূন্য সেট)।
- **Symmetric ও Transitive:** শর্তমূলক বাক্য (If p then q)-এর পূর্বশর্ত (p) মিথ্যে হওয়ায় শূন্য সেটের ক্ষেত্রে Symmetric এবং Transitive দুটিই সত্য (Vacuously True)।
সম্বন্ধ (Relation) সেমিস্টার ৩ প্রশ্ন সেট (২১ - ৩০)
সঠিক উত্তর: (b) $2^{\frac{n(n+1)}{2}}$
বিশ্লেষণ:
একটি $n \times n$ ম্যাট্রিক্সে কর্ণ বরাবর $n$ টি উপাদান থাকে এবং কর্ণের ওপরে/নিচে $\frac{n^2 - n}{2}$ টি উপাদান থাকে।
প্রতিসম সম্বন্ধের জন্য কর্ণের উপাদানগুলি স্বাধীনভাবে বেছে নেওয়া যায় ($2^n$ উপায়) এবং কর্ণের ওপরের প্রতিটি জোড়া $(a,b)$ বেছে নিলে $(b,a)$ নিজে থেকেই নির্ধারিত হয় ($2^{\frac{n(n-1)}{2}}$ উপায়)।
অতএব, মোট সংখ্যা $= 2^n \times 2^{\frac{n(n-1)}{2}} = 2^{n + \frac{n(n-1)}{2}} = 2^{\frac{n(n+1)}{2}}$।
সঠিক উত্তর: (b) প্রতিসম (Symmetric)
বিশ্লেষণ:
- **Reflexive নয়:** কোনো সরলরেখা নিজের ওপর লম্ব হতে পারে না ($l_1 \not\perp l_1$)।
- **Symmetric:** যদি $l_1 \perp l_2$ হয়, তবে অবশ্যই $l_2 \perp l_1$ হবে।
- **Transitive নয়:** যদি $l_1 \perp l_2$ এবং $l_2 \perp l_3$ হয়, তবে $l_1 \parallel l_3$ (সমান্তরাল) হবে, লম্ব হবে না।
সঠিক উত্তর: (c) সস্বসং ও সংক্রমী কিন্তু প্রতিসম নয়
বিশ্লেষণ:
- **Reflexive:** $(1,1), (2,2), (3,3), (4,4) \in R$।
- **Symmetric নয়:** $(3, 4) \in R$ কিন্তু $(4, 3) \notin R$।
- **Transitive:** সমস্ত শর্ত সিদ্ধ করে।
সঠিক উত্তর: (a) কেবল প্রতিসম (Symmetric)
বিশ্লেষণ:
- **Reflexive নয়:** $\gcd(2, 2) = 2 \neq 1$, তাই $(2,2) \notin R$।
- **Symmetric:** যদি $\gcd(a, b) = 1$ হয়, তবে $\gcd(b, a) = 1$ হবে।
- **Transitive নয়:** $\gcd(2, 3) = 1$ এবং $\gcd(3, 2) = 1$, কিন্তু $\gcd(2, 2) = 2 \neq 1$।
সঠিক উত্তর: (b) আংশিক ক্রম সম্বন্ধ (Partial Order Relation)
বিশ্লেষণ:
- **Reflexive:** প্রতিটি সেট নিজের উপসেট, অর্থাৎ $X \subseteq X$।
- **Antisymmetric:** $X \subseteq Y$ এবং $Y \subseteq X \implies X = Y$।
- **Transitive:** $X \subseteq Y$ এবং $Y \subseteq Z \implies X \subseteq Z$।
যেহেতু এটি Reflexive, Antisymmetric এবং Transitive, তাই এটি একটি **Partial Order Relation**।
সঠিক উত্তর: (c) $\text{Domain}(R) = \text{Range}(R^{-1})$
বিশ্লেষণ:
বিপরীত সম্বন্ধের সংজ্ঞানুসারে $R^{-1} = \{(y, x) : (x, y) \in R\}$।
সুতরাং $R$-এর প্রথম উপাদানগুলি (Domain) $R^{-1}$-এর দ্বিতীয় উপাদান (Range) হয়ে যায়। অর্থাৎ $\text{Domain}(R) = \text{Range}(R^{-1})$ এবং $\text{Range}(R) = \text{Domain}(R^{-1})$।
সঠিক উত্তর: (a) $1$
বিশ্লেষণ:
যে কোনো সেটের ওপর একপদী বা আইডেন্টিটি সম্বন্ধ (Identity Relation) অনন্য (Unique) হয়।
এখানে $I_A = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3)\}$ হলো একমাত্র Identity Relation। তাই এর সংখ্যা সর্বদাই ১।
সঠিক উত্তর: (c) $4$
বিশ্লেষণ:
$A = \{1, 2, 3, 4\}$ সেটে Reflexive হওয়ার জন্য $(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)$ চারটির প্রতিটিরই থাকা বাধ্যতামূলক।
বর্তমান $R$-এ এদের একটিও নেই। তাই নূন্যতম এই ৪টি জোড় যোগ করতে হবে।
সঠিক উত্তর: (a) সস্বসং ও প্রতিসম কিন্তু সংক্রমী নয়
বিশ্লেষণ:
- **Reflexive:** $1 + a^2 > 0$ সর্বদা সত্য, কারণ $a^2 \ge 0$।
- **Symmetric:** $1 + ab > 0 \implies 1 + ba > 0$।
- **Transitive নয়:** ধরুন $a = 1, b = -0.5, c = -4$।
$1 + ab = 1 - 0.5 = 0.5 > 0 \implies (a,b) \in R$।
$1 + bc = 1 + 2 = 3 > 0 \implies (b,c) \in R$।
কিন্তু $1 + ac = 1 - 4 = -3 \ngtr 0 \implies (a,c) \notin R$।
সঠিক উত্তর: (c) $511$
বিশ্লেষণ:
$n(A) = 3 \implies n(A \times A) = 3 \times 3 = 9$।
মোট সম্বন্ধের সংখ্যা $= 2^9 = 512$।
এর মধ্যে ১টি হলো শূন্য সম্বন্ধ ($\Phi$)।
অতএব, অ-শূন্য (non-empty) সম্বন্ধের সংখ্যা $= 512 - 1 = 511$।
সম্বন্ধ (Relation) সেমিস্টার ৩ প্রশ্ন সেট (৩১ - ৪০)
সঠিক উত্তর: (c) $2^{mn}$
বিশ্লেষণ:
$A \times B$-এর পদের সংখ্যা $n(A \times B) = m \cdot n$।
$A$ থেকে $B$-তে কোনো সম্বন্ধ মানে হলো $A \times B$-এর একটি উপসেট।
অতএব, উপসেটের মোট সংখ্যা $= 2^{mn}$।
সঠিক উত্তর: (a) সস্বসং ও প্রতিসম কিন্তু সংক্রমী নয়
বিশ্লেষণ:
- **Reflexive:** $|a - a| = 0 \le 1$ সত্য।
- **Symmetric:** $|a - b| \le 1 \implies |b - a| \le 1$ সত্য।
- **Transitive নয়:** ধরুন $a = 1, b = 1.8, c = 2.5$।
$|1 - 1.8| = 0.8 \le 1 \implies (1, 1.8) \in R$।
$|1.8 - 2.5| = 0.7 \le 1 \implies (1.8, 2.5) \in R$।
কিন্তু $|1 - 2.5| = 1.5 \nleq 1 \implies (1, 2.5) \notin R$।
সঠিক উত্তর: (a) সর্বদা একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ
বিশ্লেষণ:
$R$ যদি Reflexive, Symmetric এবং Transitive হয়, তবে $R^{-1}$ -ও স্বয়ংক্রিয়ভাবে Reflexive, Symmetric এবং Transitive হয়। তাই $R^{-1}$ একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ।
সঠিক উত্তর: (b) $3$
বিশ্লেষণ:
$R = \{(1,1), (2,2), (3,3)\}$ হলে এটি Reflexive শর্ত পূরণ করে। একইসাথে $(a,b) \in R \implies (b,a) \in R$ শর্তটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে সিদ্ধ হয় (Symmetric)। তাই সর্বনিম্ন ৩টি পদ আবশ্যক।
সঠিক উত্তর: (c) হয় $[a] = [b]$ না হয় $[a] \cap [b] = \Phi$
বিশ্লেষণ:
সমতুল্যতা শ্রেণীর মূল বৈশিষ্ট্য হলো, যেকোনো দুটি সমতুল্যতা শ্রেণী হয় সম্পূর্ণ এক/অভিন্ন ($[a] = [b]$) হবে, নয়তো তারা সম্পূর্ণ বিচ্ছিন্ন বা অসংযুক্ত ($[a] \cap [b] = \Phi$) হবে।
সঠিক উত্তর: (d) সমতুল্যতা সম্বন্ধ (Equivalence Relation)
বিশ্লেষণ:
- **Reflexive:** $a + a = 2a$ (যা সর্বদা জোড়)।
- **Symmetric:** $a + b$ জোড় হলে $b + a$ -ও জোড়।
- **Transitive:** $a+b$ এবং $b+c$ জোড় হলে $a$ ও $c$ একই জাতীয় (উভয়েই জোড় বা উভয়েই বিজোড়), ফলে $a+c$ জোড়।
সুতরাং এটি একটি **Equivalence Relation**।
সঠিক উত্তর: (a) সমতুল্যতা সম্বন্ধ
বিশ্লেষণ:
যেকোনো অ-শূন্য সেটের ওপর সর্বজনীন সম্বন্ধ $A \times A$ সর্বদা সস্বসং (Reflexive), প্রতিসম (Symmetric) এবং সংক্রমী (Transitive)। ফলে এটি সর্বদাই একটি **Equivalence Relation**।
সঠিক উত্তর: (a) কেবল সস্বসং (Reflexive)
বিশ্লেষণ:
- **Reflexive:** $a - a + \sqrt{2} = \sqrt{2}$ (যা অমূলদ)। তাই $(a,a) \in R$।
- **Symmetric নয়:** ধরুন $a = \sqrt{2}, b = 1$। $a - b + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} - 1$ (অমূলদ, তাই $(\sqrt{2}, 1) \in R$)। কিন্তু $b - a + \sqrt{2} = 1 - \sqrt{2} + \sqrt{2} = 1$ (মূলদ, তাই $(1, \sqrt{2}) \notin R$)।
- **Transitive নয়:** বিপরীত উদাহরণ দ্বারা এটিও অসত্য প্রমাণ করা যায়।
সঠিক উত্তর: (b) $\{(1, 2), (2, 3), (1, 3)\}$
বিশ্লেষণ:
Transitive Closure হলো এমন একটি ক্ষুদ্রতম সম্বন্ধ যা মূল সম্বন্ধ $R$-কে অন্তর্ভুক্ত করে এবং সংক্রমী শর্ত মেনে চলে।
যেহেতু $(1,2) \in R$ এবং $(2,3) \in R$, Transitive করার জন্য কেবল $(1,3)$ যোগ করতে হবে।
সঠিক উত্তর: (a) $(a, b) \in R \text{ এবং } (b, a) \in R \implies a = b$
বিশ্লেষণ:
বিপরীত-প্রতিসম (Antisymmetric) সম্বন্ধের গাণিতিক সংজ্ঞাই হলো: যদি $(a,b)$ এবং $(b,a)$ উভয়ই সম্বন্ধের অংশ হয়, তবে অবশ্যই $a = b$ হতে হবে (অর্থাৎ ভিন্ন পদের ক্ষেত্রে উল্টো জোড়টি থাকতে পারবে না)।
সম্বন্ধ (Relation) সেমিস্টার ৩ প্রশ্ন সেট (৪১ - ৫০)
সঠিক উত্তর: (b) $\{n + 0.5 : n \in \mathbb{Z}\}$
বিশ্লেষণ:
সংজ্ঞানুসারে $[1.5] = \{x \in \mathbb{Q} : (x, 1.5) \in R\} = \{x \in \mathbb{Q} : x - 1.5 = n, \text{ যেখানে } n \in \mathbb{Z}\}$।
অতএব, $x = n + 1.5 = (n+1) + 0.5$।
যেহেতু $n \in \mathbb{Z}$, তাই এটি সমস্ত অখণ্ড সংখ্যার সাথে $0.5$ যোগ করে গঠিত সেটের সমান, অর্থাৎ $\{n + 0.5 : n \in \mathbb{Z}\}$।
সঠিক উত্তর: (c) $2^{n^2} - 2^{\frac{n(n+1)}{2}}$
বিশ্লেষণ:
$A$-এর ওপর মোট সম্বন্ধের সংখ্যা $= 2^{n^2}$।
মোট প্রতিসম (Symmetric) সম্বন্ধের সংখ্যা $= 2^{\frac{n(n+1)}{2}}$।
অতএব, অ-প্রতিসম (যা প্রতিসম নয়) সম্বন্ধের সংখ্যা $= \text{মোট সম্বন্ধ} - \text{প্রতিসম সম্বন্ধ} = 2^{n^2} - 2^{\frac{n(n+1)}{2}}$।
সঠিক উত্তর: (a) কেবল সস্বসং (Reflexive)
বিশ্লেষণ:
- **Reflexive:** $a^2 - 4a(a) + 3a^2 = 4a^2 - 4a^2 = 0$ সিদ্ধ করে। তাই $(a,a) \in R$।
- **Symmetric নয়:** $a^2 - 4ab + 3b^2 = (a-b)(a-3b) = 0 \implies a = b \text{ বা } a = 3b$।
যদি $(3, 1) \in R$ হয় (কারণ $3 = 3 \times 1$), কিন্তু $(1, 3) \notin R$ (কারণ $1 \neq 3 \times 3$ এবং $1 \neq 3$)।
- **Transitive নয়:** $(9, 3) \in R$ (যেহেতু $9 = 3 \times 3$) এবং $(3, 1) \in R$ (যেহেতু $3 = 3 \times 1$), কিন্তু $(9, 1) \notin R$ (কারণ $9 \neq 3 \times 1$)।
সঠিক উত্তর: (d) সস্বসং, প্রতিসম বা সংক্রমী কোনোটিই নয়
বিশ্লেষণ:
- **Reflexive নয়:** $a = 2 \implies 2^2 = 4 \nleq 2$, তাই $(2,2) \notin R$।
- **Symmetric নয়:** $a = 1, b = 2 \implies 1^2 \le 2$ সত্য, কিন্তু $2^2 = 4 \nleq 1$, তাই $(2,1) \notin R$।
- **Transitive নয়:** $a = -2, b = 4, c = 2$ নিলে $(-2)^2 \le 4$ এবং $4^2 \nleq 2$। নির্দিষ্ট ঋণাত্মক মানের ক্ষেত্রে সংজ্ঞানুসারে এটি Transitive শর্ত ভঙ্গ করে।
সঠিক উত্তর: (b) প্রতিসম ও সংক্রমী কিন্তু সস্বসং নয়
বিশ্লেষণ:
$R_1 \cup R_2 = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3)\}$ হওয়া উচিত ছিল, কিন্তু এখানে $R_1 \cup R_2 = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3)\}$ একমাত্র তখনই হতো যদি $(3,3)$ থাকত।
এখানে $R_1 \cup R_2 = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3)\}$ না হয়ে $\{(1, 1), (2, 2), (3, 3)\}$ উপাদানগুলির মধ্যে $(3,3)$ আছে।
আসলে $R_1 \cup R_2 = \{(1,1), (2,2), (3,3)\}$। যেহেতু $A=\{1,2,3\}$, Reflexive হতে গেলে $(1,1), (2,2), (3,3)$ তিনটিই লাগত। কিন্তু এখানে $(1,1), (2,2), (3,3)$ সবগুলিই $R_1 \cup R_2$-তে উপস্থিত।
পুনর্বিবেচনা: $R_1 \cup R_2 = \{(1,1), (2,2), (3,3)\}$। এটি Reflexive, Symmetric ও Transitive। কিন্তু যদি $R_1=\{(1,1)\}$ ও $R_2=\{(2,2)\}$ হতো তবে $(3,3)$ না থাকায় Reflexive হতো না। এখানে $R_2$-তে $(3,3)$ থাকায় এটি Reflexive।
সঠিক উত্তর: (d) এটি একই সাথে Identity, Reflexive, Symmetric, Transitive এবং Equivalence relation
বিশ্লেষণ:
আইডেন্টিটি সম্বন্ধ (Identity Relation) হলো এমন একটি বিশেষ সম্বন্ধ যা সস্বসং, প্রতিসম এবং সংক্রমী—তিনটি শর্তই নিখুঁতভাবে পূরণ করে। ফলে এটি ক্ষুদ্রতম সমতুল্যতা সম্বন্ধ (Smallest Equivalence Relation)।
সঠিক উত্তর: (b) সস্বসং এবং প্রতিসম উভয়ই
বিশ্লেষণ:
- যেহেতু $R$ সস্বসং, তাই সমস্ত $a \in A$-এর জন্য $(a,a) \in R$ এবং $(a,a) \in R^{-1}$। ফলে $(a,a) \in R \cap R^{-1}$ (Reflexive)।
- যেকোনো দুটি সম্বন্ধের ছেদ $S \cap S^{-1}$ জাতীয় রূপ সর্বদাই প্রতিসম (Symmetric) হয়।
সঠিক উত্তর: (c) আংশিক ক্রম সম্বন্ধ (Partial Order Relation)
বিশ্লেষণ:
- **Reflexive:** যেকোনো সংখ্যা $a$, নিজের গুণনীয়ক ($a | a$)।
- **Antisymmetric:** যদি $a | b$ এবং $b | a$ হয়, তবে ধনাত্মক সংখ্যার ক্ষেত্রে $a = b$ হবে।
- **Transitive:** যদি $a | b$ এবং $b | c$ হয়, তবে $a | c$ হবে।
যেহেতু এটি Reflexive, Antisymmetric এবং Transitive, তাই এটি একটি **Partial Order Relation**।
সঠিক উত্তর: (b) $216$
বিশ্লেষণ:
সূত্র: $n$ পদের সেটে Antisymmetric সম্বন্ধের সংখ্যা $= 2^n \times 3^{\frac{n(n-1)}{2}}$।
এখানে $n = 3$।
সংখ্যা $= 2^3 \times 3^{\frac{3(2)}{2}} = 8 \times 3^3 = 8 \times 27 = 216$।
সঠিক উত্তর: (a) সমতুল্যতা সম্বন্ধ (Equivalence Relation)
বিশ্লেষণ:
- **Reflexive:** $a = \pm a$ সত্য (যেহেতু $a = a$)।
- **Symmetric:** $a = \pm b \implies b = \pm a$ সত্য।
- **Transitive:** $a = \pm b$ এবং $b = \pm c \implies a = \pm (\pm c) = \pm c$ সত্য।
যেহেতু তিনটি শর্তই সিদ্ধ হয়, এটি একটি **Equivalence Relation**।
সম্বন্ধ (Relation) সেমিস্টার ৩ প্রশ্ন সেট (৫১ - ৬০)
সঠিক উত্তর: (c) $63$
বিশ্লেষণ:
$n(A \times B) = 3 \times 2 = 6$।
মোট সম্বন্ধের সংখ্যা $= 2^6 = 64$।
এর মধ্যে শূন্য সম্বন্ধ (empty relation / $\Phi$) ১টি।
অতএব, অশূন্য সম্বন্ধের সংখ্যা $= 64 - 1 = 63$।
সঠিক উত্তর: (b) কেবল প্রতিসম (Symmetric)
বিশ্লেষণ:
- **Reflexive নয়:** $a = 2$ হলে $2^2 + 2^2 = 8 \neq 1$, তাই $(2,2) \notin R$।
- **Symmetric:** $a^2 + b^2 = 1 \implies b^2 + a^2 = 1$। অতএব $(a,b) \in R \implies (b,a) \in R$।
- **Transitive নয়:** $a = 1, b = 0, c = 1$ হলে $1^2 + 0^2 = 1 \implies (1,0) \in R$ এবং $0^2 + 1^2 = 1 \implies (0,1) \in R$, কিন্তু $1^2 + 1^2 = 2 \neq 1 \implies (1,1) \notin R$।
সঠিক উত্তর: (a) সস্বসং ও প্রতিসম কিন্তু সংক্রমী নয়
বিশ্লেষণ:
- **Reflexive:** $a \cdot a = a^2 \ge 0$ সর্বদা সত্য।
- **Symmetric:** $a \cdot b \ge 0 \implies b \cdot a \ge 0$ সত্য।
- **Transitive নয়:** $a = -2, b = 0, c = 3$ নিলে:
$(-2) \cdot 0 = 0 \ge 0 \implies (-2, 0) \in R$।
$0 \cdot 3 = 0 \ge 0 \implies (0, 3) \in R$।
কিন্তু $(-2) \cdot 3 = -6 \ngeq 0 \implies (-2, 3) \notin R$।
সঠিক উত্তর: (a) সর্বদা সস্বসং (Reflexive)
বিশ্লেষণ:
যেহেতু $R$ এবং $S$ উভয়ই সস্বসং, তাই সমস্ত $a \in A$-এর জন্য $(a,a) \in R$ এবং $(a,a) \in S$।
অতএব, $(a,a) \in R \cap S$ সমস্ত $a \in A$-এর জন্য। ফলে $R \cap S$ সর্বদাই সস্বসং।
সঠিক উত্তর: (c) অসস্বসং, অপ্রতিসম কিন্তু সংক্রমী (Strict Order)
বিশ্লেষণ:
- **Irreflexive:** $a - a = 0 \ngtr 0 \implies (a,a) \notin R$।
- **Asymmetric:** $a - b > 0 \implies b - a < 0 \implies (b,a) \notin R$।
- **Transitive:** $a - b > 0$ এবং $b - c > 0$ হলে তাদের যোগফল $(a - b) + (b - c) = a - c > 0 \implies (a,c) \in R$।
সঠিক উত্তর: (d) $\{(1, 1), (2, 2), (3, 3)\}$
বিশ্লেষণ:
$A = \{1, 2, 3\}$ সেটের ওপর Reflexive হতে গেলে প্রতিটি পদ $x \in A$-এর জন্য $(x,x) \in R$ থাকা বাধ্যতামূলক।
এখানে $(1,1), (2,2), (3,3)$ তিনটি পদের একটিও $R$-এ উপস্থিত নেই, তাই তিনটিকেই যোগ করতে হবে।
সঠিক উত্তর: (b) $2^{12}$
বিশ্লেষণ:
$n$ পদের সেটের ওপর সস্বসং সম্বন্ধের সংখ্যা $= 2^{n(n-1)}$।
এখানে $n = 4$।
সংখ্যা $= 2^{4(4-1)} = 2^{4 \times 3} = 2^{12} = 4096$।
সঠিক উত্তর: (a) সমতুল্যতা সম্বন্ধ (Equivalence Relation)
বিশ্লেষণ:
- **Reflexive:** $a + 3a = 4a$, যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য।
- **Symmetric:** $a + 3b = 4k \implies b + 3a = 4(a+b) - (a+3b) = 4(a+b) - 4k = 4(a+b-k)$, যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য।
- **Transitive:** $a + 3b = 4k_1$ এবং $b + 3c = 4k_2$ হলে,
$(a+3b) + 3(b+3c) = a + 6b + 9c = (a+3c) + 6b + 6c = 4k_1 + 12k_2 \implies a + 3c = 4(k_1 + 3k_2 - 3b - 3c)$, যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য।
সঠিক উত্তর: (b) প্রতিসম (Symmetric)
বিশ্লেষণ:
যেকোনো সম্বন্ধ $R$-এর ক্ষেত্রে, $R = R^{-1}$ শর্তটি হলো প্রতিসম (Symmetric) সম্বন্ধের প্রয়োজনীয় ও পর্যাপ্ত গাণিতিক শর্ত ($R \text{ is symmetric} \iff R = R^{-1}$)।
সঠিক উত্তর: (a) $(1, 3)$
বিশ্লেষণ:
দেওয়া আছে $(1, 2) \in R$ এবং $(2, 3) \in R$।
Transitive সম্বন্ধের শর্ত হলো: যদি $(a, b) \in R$ এবং $(b, c) \in R$ হয়, তবে অবশ্যই $(a, c) \in R$ থাকতে হবে।
এখানে $a = 1, b = 2, c = 3$, তাই $(1, 3)$ উপাদানটি সম্বন্ধটিতে যোগ করা আবশ্যক।
সম্বন্ধ (Relation) সেমিস্টার ৩ প্রশ্ন সেট (৬১ - ৭০)
সঠিক উত্তর: (b) কেবল প্রতিসম (Symmetric)
বিশ্লেষণ:
- **Reflexive নয়:** $\text{gcd}(2, 2) = 2 \neq 1$, তাই $(2,2) \notin R$।
- **Symmetric:** $\text{gcd}(a, b) = 1 \iff \text{gcd}(b, a) = 1$, তাই $(a,b) \in R \implies (b,a) \in R$।
- **Transitive নয়:** $\text{gcd}(2, 3) = 1$ এবং $\text{gcd}(3, 2) = 1$, কিন্তু $\text{gcd}(2, 2) = 2 \neq 1$।
সঠিক উত্তর: (b) এটি সস্বসং ও প্রতিসম, কিন্তু সংক্রমী নাও হতে পারে
বিশ্লেষণ:
দুটি সমতুল্যতা সম্বন্ধের ছেদ ($R \cap S$) সর্বদাই একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ হয়। কিন্তু তাদের সংযোগ ($R \cup S$) সস্বসং ও প্রতিসম হলেও সর্বদা সংক্রমী (Transitive) হয় না।
সঠিক উত্তর: (a) সস্বসং ও প্রতিসম কিন্তু সংক্রমী নয়
বিশ্লেষণ:
- **Reflexive:** $1 + a^2 > 0$ সমস্ত $a \in \mathbb{R}$-এর জন্য সত্যি।
- **Symmetric:** $1 + ab > 0 \iff 1 + ba > 0$।
- **Transitive নয়:** $a = 1, b = -0.5, c = -4$ নিলে:
$1 + a b = 1 - 0.5 = 0.5 > 0 \implies (a,b) \in R$।
$1 + b c = 1 + 2 = 3 > 0 \implies (b,c) \in R$।
কিন্তু $1 + a c = 1 - 4 = -3 \ngtr 0 \implies (a,c) \notin R$।
সঠিক উত্তর: (c) $(a, b) \in R$ এবং $(b, a) \in R \implies a = b$
বিশ্লেষণ:
Anti-symmetric সম্বন্ধের গাণিতিক সংজ্ঞাই হলো: যদি $(a,b) \in R$ এবং $(b,a) \in R$ উভয়ই সত্য হয়, তবে অবশ্যই $a = b$ হতে হবে।
সঠিক উত্তর: (d) সমতুল্যতা সম্বন্ধ (Equivalence Relation)
বিশ্লেষণ:
মডিউলো সমতা (Congruence modulo $m$) সস্বসং, প্রতিসম এবং সংক্রমী—তিনটি শর্তই সিদ্ধ করে। তাই এটি একটি ক্লাসিক্যাল সমতুল্যতা সম্বন্ধ।
সঠিক উত্তর: (c) অসস্বসং, অপ্রতিসম এবং অসংক্রমী
বিশ্লেষণ:
- **Reflexive নয়:** $(1,1) \notin R$।
- **Symmetric নয়:** $(2,3) \in R$ কিন্তু $(3,2) \notin R$।
- **Transitive নয়:** $(2,1) \in R$ এবং $(1,2) \in R$ কিন্তু $(2,2) \notin R$।
সঠিক উত্তর: (b) $2^6 = 64$
বিশ্লেষণ:
প্রতিসম সম্বন্ধের সংখ্যার সূত্র $= 2^{\frac{n(n+1)}{2}}$।
এখানে $n = 3$।
সংখ্যা $= 2^{\frac{3 \times 4}{2}} = 2^6 = 64$।
সঠিক উত্তর: (c) কেবল সংক্রমী (Transitive)
বিশ্লেষণ:
- **Reflexive নয়:** $a = -2 \implies |-2| = 2 \nleq -2$, তাই $(-2,-2) \notin R$।
- **Symmetric নয়:** $a = 1, b = 2 \implies |1| \le 2$ সত্য, কিন্তু $|2| \le 1$ মিথ্যা।
- **Transitive:** $|a| \le b \implies b \ge 0$। এখন $|b| \le c \implies b \le c$ (যেহেতু $b \ge 0$)। সুতরাং $|a| \le b \le c \implies |a| \le c$, যা সংক্রমী শর্ত পূরণ করে।
সঠিক উত্তর: (c) আংশিক ক্রম সম্বন্ধ (Partial Order Relation)
বিশ্লেষণ:
- **Reflexive:** $A \subseteq A$ সর্বদা সত্য।
- **Anti-symmetric:** $A \subseteq B$ এবং $B \subseteq A \implies A = B$।
- **Transitive:** $A \subseteq B$ এবং $B \subseteq C \implies A \subseteq C$।
যেহেতু এটি Reflexive, Anti-symmetric এবং Transitive, তাই এটি একটি **Partial Order Relation**।
সঠিক উত্তর: (b) প্রতিসম ও সংক্রমী (Symmetric & Transitive)
বিশ্লেষণ:
- **Reflexive নয়:** কারণ এতে কোনো $(a,a)$ উপাদান নেই (যদি না সেটটি খালি হয়)।
- **Symmetric & Transitive:** শূন্য সেটের ক্ষেত্রে "যদি-তবে" (If-Then) জাতীয় শর্ত ভ্যাকুয়াসলি সত্য (Vacuously True) হয়, কারণ কোনো খণ্ডনকারী উদাহরণ (counter-example) পাওয়া যায় না।
