স্পর্শক ও অভিলম্ব (Tangent and Normal) Practice Set – Part 1 | WBCHSE Semester 3

 WBCHSE Semester 3 Mathematics-এর স্পর্শক ও অভিলম্ব (Tangent and Normal) একটি গুরুত্বপূর্ণ অধ্যায়। এই অধ্যায়ে ভালো করতে হলে শুধু সূত্র মুখস্থ করলেই হবে না, বিভিন্ন ধরনের সমস্যার নিয়মিত অনুশীলনের মাধ্যমে ধারণাগুলো পরিষ্কার করতে হবে।

তোমাদের প্রস্তুতিকে আরও শক্তিশালী করার জন্য এই Practice Set-এ গুরুত্বপূর্ণ ও পরীক্ষাভিত্তিক প্রশ্ন দেওয়া হয়েছে। প্রতিটি প্রশ্ন মন দিয়ে সমাধান করার চেষ্টা করো এবং কোথায় ভুল হচ্ছে তা খুঁজে বের করো।

কলনবিদ্যা: স্পর্শক ও অভিলম্ব (30টি অনুশীলনী প্রশ্ন)

(1) $y^2 = 4ax$ অধিবৃত্তের $(x_1, y_1)$ বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ কোনটি?

(a) $y - y_1 = -\frac{y_1}{2a}(x - x_1)$ (b) $y - y_1 = \frac{2a}{y_1}(x - x_1)$ (c) $y - y_1 = \frac{y_1}{2a}(x - x_1)$ (d) $y - y_1 = -\frac{2a}{y_1}(x - x_1)$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

$y^2 = 4ax \implies 2y \frac{dy}{dx} = 4a \implies \frac{dy}{dx} = \frac{2a}{y}$
$(x_1, y_1)$ বিন্দুতে স্পর্শকের প্রবণতা = $\frac{2a}{y_1}$
সুতরাং অভিলম্বের প্রবণতা = $-\frac{y_1}{2a}$
অভিলম্বের সমীকরণ: $y - y_1 = -\frac{y_1}{2a}(x - x_1)$

(2) $y = f(x)$ বক্রের $(x_0, y_0)$ বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ কোনটি?

(a) $y = f'(x_0)(x - x_0) + y_0$ (b) $y = -f'(x_0)^{-1}(x - x_0) + y_0$ (c) $x = f'(x_0)(y - y_0) + x_0$ (d) $x = -f'(x_0)(y - y_0) + x_0$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

স্পর্শকের প্রবণতা $m = f'(x_0)$।
অভিলম্বের প্রবণতা $= -\frac{1}{f'(x_0)}$।
সমীকরণ: $y - y_0 = -\frac{1}{f'(x_0)}(x - x_0) \implies y = -f'(x_0)^{-1}(x - x_0) + y_0$

(3) $xy = c^2$-এর $(ct, \frac{c}{t})$ বিন্দুতে স্পর্শকের প্রবণতা কত?

(a) $-\frac{1}{t^2}$ (b) $-\frac{1}{t^2}$ (c) $-\frac{1}{t}$ (d) $-t^2$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

$x \frac{dy}{dx} + y = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$
$(ct, \frac{c}{t})$ বিন্দুতে $\frac{dy}{dx} = -\frac{c/t}{ct} = -\frac{1}{t^2}$

(4) $y^2 = 2x^3 - 7$ বক্রের $(2, 3)$ বিন্দুতে অভিলম্বের প্রবণতা কত?

(a) $-\frac{1}{12}$ (b) 12 (c) 4 (d) $-\frac{1}{4}$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

$2y \frac{dy}{dx} = 6x^2 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{3x^2}{y}$
$(2,3)$ বিন্দুতে স্পর্শকের প্রবণতা = $\frac{3(2)^2}{3} = 4$
অভিলম্বের প্রবণতা = $-\frac{1}{4}$

(5) $y = mx + c$ সরলরেখাটি $x^2 + y^2 = a^2$ বৃত্তের স্পর্শক হওয়ার শর্ত কোনটি?

(a) $c^2 = a^2(m^2 - 1)$ (b) $c^2 = a^2(m^2 + 1)$ (c) $a^2 = c^2(m^2 - 1)$ (d) $a^2 = c^2(m^2 + 1)$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

কেন্দ্র $(0,0)$ থেকে $mx - y + c = 0$ রেখাটির লম্ব দূরত্ব = ব্যাসার্ধ $a$
$\frac{|c|}{\sqrt{m^2 + 1}} = a \implies c^2 = a^2(m^2 + 1)$

(6) $lx + my + n = 0$ সরলরেখাটি $x^2 + y^2 = a^2$ বৃত্তকে স্পর্শ করার শর্ত কোনটি?

(a) $a^2(l^2 + m^2) = n^2$ (b) $a^2(l^2 - m^2) = n^2$ (c) $a(l^2 + m^2) = n^2$ (d) $a(l^2 - m^2) = n^2$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

মূলবিন্দু $(0,0)$ হতে লম্ব দূরত্ব = $\frac{|n|}{\sqrt{l^2 + m^2}} = a \implies n^2 = a^2(l^2 + m^2)$

(7) $y = mx + c$ সরলরেখাটি $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ উপবৃত্তের স্পর্শক হওয়ার শর্ত কোনটি?

(a) $c^2 = a^2m^2 - b^2$ (b) $c^2 = a^2m^2 + b^2$ (c) $c^2 = a^2 + m^2b^2$ (d) $c^2 = a^2m^2 + b^2$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

উপবৃত্তের স্পর্শকের প্রবণতা রূপ: $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$।
তুলনা করে পাই, $c^2 = a^2m^2 + b^2$

(8) $lx + my = n$ সরলরেখাটি $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ পরাবৃত্তের স্পর্শক হওয়ার শর্ত কোনটি?

(a) $a^2l^2 - b^2m^2 = n^2$ (b) $a^2l^2 + b^2m^2 = n^2$ (c) $b^2l^2 - a^2m^2 = n^2$ (d) $a^2m^2 - b^2l^2 = n^2$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

রেখাটিকে $y = \left(-\frac{l}{m}\right)x + \frac{n}{m}$ আকারে লিখলে,
পরাবৃত্তের স্পর্শকের শর্ত $C^2 = a^2M^2 - b^2$ প্রয়োগ করে পাই: $\left(\frac{n}{m}\right)^2 = a^2\left(-\frac{l}{m}\right)^2 - b^2 \implies a^2l^2 - b^2m^2 = n^2$

(9) $y = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ বক্রের যেসব বিন্দুতে স্পর্শক $x$-অক্ষের সমান্তরাল, সেগুলির $x$-স্থানাঙ্ক কত?

(a) $3, -1$ (b) $-3, 1$ (c) $3, 1$ (d) $-3, -1$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

$\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 6x - 9$
$x$-অক্ষের সমান্তরাল হলে $\frac{dy}{dx} = 0 \implies 3(x^2 - 2x - 3) = 0 \implies (x - 3)(x + 1) = 0 \implies x = 3, -1$

(10) $y = x^2 - 5x + 6$ বক্রের কোন্ বিন্দুতে স্পর্শকটি $y = x + 2$ রেখার সমান্তরাল?

(a) $(3, 0)$ (b) $(3, 0)$ (c) $(2, 0)$ (d) $(1, 2)$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

$\frac{dy}{dx} = 2x - 5$
প্রদত্ত রেখার প্রবণতা $m = 1$
শর্তানুসারে $2x - 5 = 1 \implies 2x = 6 \implies x = 3$
$y = (3)^2 - 5(3) + 6 = 0$। অতএব বিন্দুটি $(3, 0)$।

(11) $y = x^2 - 4x + 5$ বক্রের মূলবিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শকের প্রবণতা কত হতে পারে?

(a) $2$ বা $-2$ (b) $2$ বা $-6$ (c) $1$ বা $-5$ (d) $0$ বা $4$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

ধরি স্পর্শবিন্দু $(h, k) \implies k = h^2 - 4h + 5$
$\frac{dy}{dx} = 2x - 4 \implies m = 2h - 4$
মূলবিন্দুগামী স্পর্শকের সমীকরণ $y = mx \implies k = (2h - 4)h$
অতএব, $h^2 - 4h + 5 = 2h^2 - 4h \implies h^2 = 5 \implies h = \pm\sqrt{5}$
তাহলে $m = 2(\pm\sqrt{5}) - 4$

(12) $y^2 = 4x$ অধিবৃত্তের $(1, 2)$ বিন্দুতে অভিলম্বের প্রবণতা কত?

(a) $-1$ (b) $1$ (c) $2$ (d) $-\frac{1}{2}$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

$2y \frac{dy}{dx} = 4 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$
$(1, 2)$ বিন্দুতে $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{2} = 1$
অভিলম্বের প্রবণতা $= -\frac{1}{1} = -1$

(13) $x = a \cos \theta, y = a \sin \theta$ বৃত্তের $\theta$ বিন্দুতে স্পর্শকের প্রবণতা কত?

(a) $\tan \theta$ (b) $-\cot \theta$ (c) $-\tan \theta$ (d) $\cot \theta$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

$\frac{dx}{d\theta} = -a \sin \theta$, $\frac{dy}{d\theta} = a \cos \theta$
$\frac{dy}{dx} = \frac{a \cos \theta}{-a \sin \theta} = -\cot \theta$

(14) $x = a \theta, y = a(1 - \cos \theta)$ বক্রের $\theta = \frac{\pi}{2}$ বিন্দুতে অভিলম্বের প্রবণতা কত?

(a) $-1$ (b) $1$ (c) $0$ (d) অসসংজ্ঞাত

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

$\frac{dx}{d\theta} = a$, $\frac{dy}{d\theta} = a \sin \theta \implies \frac{dy}{dx} = \sin \theta$
$\theta = \frac{\pi}{2}$ বিন্দুতে $\frac{dy}{dx} = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$
অভিলম্বের প্রবণতা $= -\frac{1}{1} = -1$

(15) $y = e^{2x}$ বক্রের $(0, 1)$ বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ কোনটি?

(a) $y = x + 1$ (b) $2x - y + 1 = 0$ (c) $x - 2y + 2 = 0$ (d) $2x + y - 1 = 0$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

$\frac{dy}{dx} = 2e^{2x}$
$(0, 1)$ বিন্দুতে $\frac{dy}{dx} = 2e^0 = 2$
সমীকরণ: $y - 1 = 2(x - 0) \implies 2x - y + 1 = 0$

(16) $y = \sin x$ বক্রের $(0, 0)$ বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ কোনটি?

(a) $y = x$ (b) $x + y = 0$ (c) $x - y = 0$ (d) $y = 0$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

$\frac{dy}{dx} = \cos x$
$(0, 0)$ বিন্দুতে $\frac{dy}{dx} = \cos 0 = 1$
অভিলম্বের প্রবণতা $= -1$
সমীকরণ: $y - 0 = -1(x - 0) \implies x + y = 0$

(17) $x^2 + y^2 = 25$ বৃত্তের $(3, 4)$ বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ কোনটি?

(a) $3x + 4y = 25$ (b) $4x + 3y = 25$ (c) $3x - 4y = 25$ (d) $4x - 3y = 0$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

$x^2 + y^2 = r^2$ বৃত্তের $(x_1, y_1)$ বিন্দুতে স্পর্শকের সূত্র $xx_1 + yy_1 = r^2$।
অতএব, $3x + 4y = 25$

(18) $x^2 + y^2 = 25$ বৃত্তের $(3, 4)$ বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ কোনটি?

(a) $3x - 4y = 0$ (b) $4x - 3y = 0$ (c) $3x + 4y = 0$ (d) $4x + 3y = 25$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

বৃত্তের যেকোনো অভিলম্ব সর্বদা কেন্দ্র $(0,0)$ দিয়ে যায়।
$(0,0)$ এবং $(3,4)$ বিন্দুগামী রেখার সমীকরণ: $y - 0 = \frac{4-0}{3-0}(x - 0) \implies 4x - 3y = 0$

(19) $y = x^3$ বক্রের কোন্ বিন্দুতে স্পর্শকের প্রবণতা বিন্দুটির $y$-স্থানাঙ্কের সমান?

(a) $(1, 1)$ (b) $(\sqrt{3}, 3\sqrt{3})$ ও $(-\sqrt{3}, -3\sqrt{3})$ (c) $(3, 27)$ (d) $(0, 0)$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

$\frac{dy}{dx} = 3x^2$। শর্তানুসারে, $3x^2 = y = x^3$
$\implies x^3 - 3x^2 = 0 \implies x^2(x - 3) = 0 \implies x = 3$ বা $x = 0$
$x = 3 \implies y = 27$ এবং $x = \sqrt{3} \implies 3(\sqrt{3})^2 = 9 \ne (\sqrt{3})^3$ ইত্যাদি যাচাই করে মূল বিন্দুসমূহ পাওয়া যায়।

(20) $x = a(\theta + \sin \theta), y = a(1 - \cos \theta)$ বক্রের $\theta = \frac{\pi}{2}$ বিন্দুতে স্পর্শকের প্রবণতা কত?

(a) $1$ (b) $-1$ (c) $0$ (d) $\infty$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

$\frac{dx}{d\theta} = a(1 + \cos \theta)$, $\frac{dy}{d\theta} = a \sin \theta$
$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \tan(\frac{\theta}{2})$
$\theta = \frac{\pi}{2}$ হলে $\frac{dy}{dx} = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$

(21) $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ উপবৃত্তের $(a \cos \phi, b \sin \phi)$ বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ কোনটি?

(a) $\frac{x}{a}\cos \phi + \frac{y}{b}\sin \phi = 1$ (b) $\frac{x}{a}\sin \phi + \frac{y}{b}\cos \phi = 1$ (c) $\frac{ax}{\cos \phi} - \frac{by}{\sin \phi} = a^2 - b^2$ (d) $ax \cos \phi + by \sin \phi = 1$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

উপবৃত্তের স্পর্শকের সূত্র $\frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{b^2} = 1$ বসালে,
$\frac{x(a\cos\phi)}{a^2} + \frac{y(b\sin\phi)}{b^2} = 1 \implies \frac{x}{a}\cos \phi + \frac{y}{b}\sin \phi = 1$

(22) $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ উপবৃত্তের $(a \cos \phi, b \sin \phi)$ বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ কোনটি?

(a) $ax \sec \phi - by \csc \phi = a^2 - b^2$ (b) $\frac{ax}{\cos \phi} - \frac{by}{\sin \phi} = a^2 - b^2$ (c) $\frac{ax}{\sin \phi} + \frac{by}{\cos \phi} = a^2 - b^2$ (d) $ax \cos \phi - by \sin \phi = a^2 + b^2$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

অভিলম্বের প্রবণতা $= \frac{a \sin \phi}{b \cos \phi}$।
সমীকরণ গঠন করে সরল করলে পাওয়া যায়: $\frac{ax}{\cos \phi} - \frac{by}{\sin \phi} = a^2 - b^2$

(23) $y = 2x^2 - x + 1$ বক্রের $(1, 2)$ বিন্দুতে স্পর্শক $x$-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে কত কোণ উৎপন্ন করে?

(a) $45^\circ$ (b) $60^\circ$ (c) $\tan^{-1}(3)$ (d) $30^\circ$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

$\frac{dy}{dx} = 4x - 1$
$(1, 2)$ বিন্দুতে প্রবণতা $\tan \theta = 4(1) - 1 = 3 \implies \theta = \tan^{-1}(3)$

(24) $y^2 = 4ax$ এবং $x^2 = 4ay$ বক্র দুটি $(0,0)$ বিন্দুতে কত কোণে ছেদ করে?

(a) $90^\circ$ (b) $45^\circ$ (c) $60^\circ$ (d) $0^\circ$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

প্রথমটির স্পর্শক $(0,0)$ বিন্দুতে $y$-অক্ষ ($\frac{dy}{dx} \to \infty$)।
দ্বিতীয়টির স্পর্শক $(0,0)$ বিন্দুতে $x$-অক্ষ ($\frac{dy}{dx} = 0$)।
সুতরাং অক্ষ দুটির মধ্যবর্তী কোণ $90^\circ$।

(25) $y = c \cosh(\frac{x}{c})$ বক্রের যেকোনো বিন্দুতে অভিলম্বের দৈর্ঘ্য কোনটি?

(a) $\frac{y}{c}$ (b) $\frac{y^2}{c}$ (c) $y^2$ (d) $c y$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

অভিলম্বের দৈর্ঘ্য = $y \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2}$
$\frac{dy}{dx} = \sinh(\frac{x}{c})$
দৈর্ঘ্য $= y \sqrt{1 + \sinh^2(\frac{x}{c})} = y \cosh(\frac{x}{c}) = y \cdot \frac{y}{c} = \frac{y^2}{c}$

(26) $y = x^2 - x + 2$ বক্রের কোন্ বিন্দুতে স্পর্শকটি $y = 3x + 5$ রেখার সমান্তরাল?

(a) $(2, 4)$ (b) $(1, 2)$ (c) $(3, 8)$ (d) $(-1, 4)$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

$\frac{dy}{dx} = 2x - 1$
প্রদত্ত রেখার প্রবণতা $3 \implies 2x - 1 = 3 \implies 2x = 4 \implies x = 2$
$y = 2^2 - 2 + 2 = 4$। অতএব বিন্দুটি $(2, 4)$।

(27) $x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$ বক্রের যেকোনো স্পর্শক দ্বারা অক্ষদ্বয় থেকে ছিন্ন অংশের সমষ্টি কত?

(a) $a^2$ (a) $a$ (c) $2a$ (d) $\sqrt{a}$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

অ্যাস্ট্রয়েড (Asteroid) $x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$-এর যেকোনো স্পর্শকের অক্ষদ্বয়ের অন্তর্বর্তী ছিন্ন অংশের দৈর্ঘ্য ধ্রুবক হয় এবং তা $a$-এর সমান।

(28) $y = x^2$ বক্রের $(1, 1)$ বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ কোনটি?

(a) $2x - y - 1 = 0$ (b) $x - 2y + 1 = 0$ (c) $2x + y - 3 = 0$ (d) $x + 2y - 3 = 0$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

$\frac{dy}{dx} = 2x \implies (1,1)$ বিন্দুতে প্রবণতা $m = 2$
সমীকরণ: $y - 1 = 2(x - 1) \implies 2x - y - 1 = 0$

(29) $y = x^2$ বক্রের $(1, 1)$ বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ কোনটি?

(a) $2x + y - 3 = 0$ (b) $x + 2y - 3 = 0$ (c) $x - 2y + 1 = 0$ (d) $2x - y - 1 = 0$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

স্পর্শকের প্রবণতা $2 \implies$ অভিলম্বের প্রবণতা $= -\frac{1}{2}$
সমীকরণ: $y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 1) \implies 2y - 2 = -x + 1 \implies x + 2y - 3 = 0$

(30) $y = x^4 - 6x^3 + 13x^2 - 10x + 5$ বক্রের $(0, 5)$ বিন্দুতে স্পর্শকের প্রবণতা কত?

(a) $5$ (b) $-10$ (c) $13$ (d) $-6$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

$\frac{dy}{dx} = 4x^3 - 18x^2 + 26x - 10$
$(0, 5)$ বিন্দুতে $x = 0$ বসালে: $\frac{dy}{dx} = -10$