স্পর্শক ও অভিলম্ব (Tangent and Normal) Practice Set – Part 2 | WBCHSE Semester 3

 স্পর্শক ও অভিলম্ব (Tangent and Normal) অধ্যায়ের প্রস্তুতিকে আরও শক্তিশালী করার জন্য নিয়ে এলাম Practice Set – Part 2। Part 1-এর অনুশীলনের পর এবার আরও কিছু গুরুত্বপূর্ণ ও Concept-based প্রশ্নের মাধ্যমে তোমার প্রস্তুতিকে আরও এক ধাপ এগিয়ে নিয়ে যাওয়ার সুযোগ।

এই Practice Set-এ প্রশ্নগুলো মন দিয়ে সমাধান করার চেষ্টা করো এবং প্রতিটি সমস্যার ক্ষেত্রে কোন সূত্র বা ধারণা প্রয়োগ করতে হবে তা নিজে খুঁজে বের করো। নিয়মিত অনুশীলন তোমার Concept, Accuracy এবং Problem-Solving Speed—তিনটিই উন্নত করতে সাহায্য করবে।

তাহলে আর দেরি নয়—Part 2 শুরু করো, নিজের প্রস্তুতি যাচাই করো এবং Semester 3 পরীক্ষার জন্য আরও আত্মবিশ্বাসী হয়ে ওঠো।

কলনবিদ্যা: স্পর্শক ও অভিলম্ব (Advanced Practice Set)

(1) $y^2 = 4ax$ অধিবৃত্তের যেকোনো বিন্দুতে উপস্পর্শকের (Subtangent) দৈর্ঘ্য কোনটি?

(a) $x$ (b) $2x$ (c) $\frac{y}{2}$ (d) $2a$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

উপস্পর্শকের দৈর্ঘ্যের সূত্র $= \left| \frac{y}{\frac{dy}{dx}} \right|$
$y^2 = 4ax \implies 2y \frac{dy}{dx} = 4a \implies \frac{dy}{dx} = \frac{2a}{y}$
অতএব, উপস্পর্শকের দৈর্ঘ্য $= \left| \frac{y}{\frac{2a}{y}} \right| = \frac{y^2}{2a} = \frac{4ax}{2a} = 2x$

(2) $y^2 = 4ax$ অধিবৃত্তের যেকোনো বিন্দুতে উপঅভিলম্বের (Subnormal) দৈর্ঘ্য কত?

(a) $a$ (b) $2a$ (c) $4a$ (d) $2x$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

উপঅভিলম্বের দৈর্ঘ্যের সূত্র $= \left| y \cdot \frac{dy}{dx} \right|$
যেহেতু $\frac{dy}{dx} = \frac{2a}{y}$, সুতরাং উপঅভিলম্ব $= \left| y \cdot \frac{2a}{y} \right| = 2a$ (ধ্রুবক)।

(3) $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{a}$ বক্রের যেকোনো স্পর্শক দ্বারা অক্ষদ্বয় থেকে ছিন্ন অংশের যোগফল কত?

(a) $a$ (b) $2a$ (c) $\sqrt{a}$ (d) $a^2$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

অন্তরকলন করে পাই, $\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{y}}\frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}$
$(x_1, y_1)$ বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ: $Y - y_1 = -\frac{\sqrt{y_1}}{\sqrt{x_1}}(X - x_1)$
সরল করলে পাই: $\frac{X}{\sqrt{a}\sqrt{x_1}} + \frac{Y}{\sqrt{a}\sqrt{y_1}} = 1$
অক্ষদ্বয়ের ছেদাংশের সমষ্টি $= \sqrt{a}\sqrt{x_1} + \sqrt{a}\sqrt{y_1} = \sqrt{a}(\sqrt{x_1} + \sqrt{y_1}) = \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$

(4) $y = y_0 e^{x/a}$ বক্রের ক্ষেত্রে উপস্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত?

(a) $y$ (b) $a$ (c) $\frac{y}{a}$ (d) $\frac{a}{y}$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

$\frac{dy}{dx} = \frac{y_0}{a} e^{x/a} = \frac{y}{a}$
উপস্পর্শকের দৈর্ঘ্য $= \left|\frac{y}{\frac{dy}{dx}}\right| = \left|\frac{y}{\frac{y}{a}}\right| = a$ (ধ্রুবক)।

(5) $y^2 = x$ এবং $x^2 = y$ বক্রদ্বয়ের ছেদবিন্দু $(1,1)$-এ তাদের স্পর্শকদ্বয়ের অন্তর্বর্তী সূক্ষ্মকোণ $\theta$ হলে $\tan \theta$ কত?

(a) $\frac{1}{3}$ (b) $\frac{3}{4}$ (c) $1$ (d) $\frac{4}{3}$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

প্রথম বক্রের জন্য: $m_1 = \frac{1}{2y} \implies (1,1)$ এ $m_1 = \frac{1}{2}$
দ্বিতীয় বক্রের জন্য: $m_2 = 2x \implies (1,1)$ এ $m_2 = 2$
$\tan \theta = \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}\right| = \left|\frac{1/2 - 2}{1 + 1/2 \cdot 2}\right| = \left|\frac{-3/2}{2}\right| = \frac{3}{4}$

(6) $x^2 - y^2 = a^2$ এবং $xy = c^2$ বক্র দুটি পরস্পরকে কত কোণে ছেদ করে?

(a) $90^\circ$ (b) $45^\circ$ (c) $60^\circ$ (d) $30^\circ$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

প্রথম বক্র হতে: $2x - 2y \frac{dy}{dx} = 0 \implies m_1 = \frac{x}{y}$
দ্বিতীয় বক্র হতে: $x \frac{dy}{dx} + y = 0 \implies m_2 = -\frac{y}{x}$
প্রবণতাদ্বয়ের গুণফল $m_1 \cdot m_2 = \left(\frac{x}{y}\right) \cdot \left(-\frac{y}{x}\right) = -1$
যেহেতু $m_1 m_2 = -1$, বক্র দুটি সমকোণে (Orthogonally) ছেদ করে, অর্থাৎ কোণ $90^\circ$।

(7) $y = b e^{-x/a}$ বক্রটি $y$-অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে, সেখানে স্পর্শকের সমীকরণ কোনটি?

(a) $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ (b) $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 1$ (c) $ax + by = 1$ (d) $\frac{x}{b} + \frac{y}{a} = 1$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

$y$-অক্ষের ওপর $x = 0 \implies y = b e^0 = b$। ছেদবিন্দু $(0, b)$।
$\frac{dy}{dx} = -\frac{b}{a} e^{-x/a} \implies (0, b)$ বিন্দুতে প্রবণতা $m = -\frac{b}{a}$
স্পর্শকের সমীকরণ: $y - b = -\frac{b}{a}(x - 0) \implies \frac{b}{a}x + y = b \implies \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$

(8) $y^2 = 4a(x + a)$ অধিবৃত্তের ক্ষেত্রে মূলবিন্দু থেকে স্পর্শকের ওপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর সঞ্চারপথ কোনটি?

(a) $x^2 + y^2 = a^2$ (b) $x = 0$ ($y$-অক্ষ) (c) $x + a = 0$ (d) $y = 0$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

$y = m(x+a) + \frac{a}{m}$ হলো প্রদত্ত অধিবৃত্তের স্পর্শক।
মূলবিন্দু থেকে লম্বের সমীকরণ $y = -\frac{1}{m}x \implies m = -\frac{x}{y}$।
মান বসালে পাওয়া যায় $x = 0$, যা হলো $y$-অক্ষ (Top Tangent at Vertex Property)।

(9) $y = c \ln(\sec \frac{x}{c})$ বক্রের যেকোনো বিন্দুতে স্পর্শক $x$-অক্ষের সাথে $\psi$ কোণ উৎপন্ন করলে অভিলম্বের দৈর্ঘ্য কত?

(a) $c \tan \psi$ (b) $c \sec \psi$ (c) $c \csc \psi$ (d) $c \cos \psi$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

$\frac{dy}{dx} = c \cdot \frac{1}{\sec(x/c)} \cdot \sec(x/c)\tan(x/c) \cdot \frac{1}{c} = \tan(x/c)$
প্রবণতা $\tan \psi = \tan(x/c) \implies \psi = \frac{x}{c}$
অভিলম্বের দৈর্ঘ্য $= y \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} = y \sec \psi = c \ln(\sec \psi) \sec \psi$

(10) $y = ax^2 + bx$ বক্রের $(1, 1)$ বিন্দুতে স্পর্শকের প্রবণতা $3$ হলে $a$ ও $b$-এর মান কত?

(a) $a = 2, b = -1$ (b) $a = 1, b = 2$ (c) $a = -1, b = 2$ (d) $a = 3, b = 0$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

$(1,1)$ বিন্দুটি বক্রের ওপর অবস্থিত $\implies 1 = a(1)^2 + b(1) \implies a + b = 1$
$\frac{dy}{dx} = 2ax + b \implies (1,1)$ বিন্দুতে প্রবণতা $2a + b = 3$
সমীকরণ দুটি সমাধান করে পাই: $a = 2, b = -1$

(11) $y = x^3 + k$ বক্রটি $x$-অক্ষকে যে বিন্দুতে স্পর্শ করে, $k$-এর মান কত?

(a) $1$ (b) $0$ (c) $-1$ (d) যেকোনো বাস্তব সংখ্যা

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

$x$-অক্ষকে স্পর্শ করতে হলে স্পর্শবিন্দুতে $y = 0$ এবং $\frac{dy}{dx} = 0$ হবে।
$\frac{dy}{dx} = 3x^2 = 0 \implies x = 0$
$x = 0$ বিন্দুতে $y = 0 \implies 0 = 0^3 + k \implies k = 0$

(12) $y = x^2 - 5x + 6$ বক্রের কোন্ বিন্দুতে স্পর্শকটি $x$-অংশের সাথে $45^\circ$ কোণ উৎপন্ন করে?

(a) $(3, 0)$ (b) $(2, 0)$ (c) $(1, 2)$ (d) $(4, 2)$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

প্রবণতা $m = \tan 45^\circ = 1$
$\frac{dy}{dx} = 2x - 5 \implies 2x - 5 = 1 \implies 2x = 6 \implies x = 3$
$y = 3^2 - 5(3) + 6 = 0 \implies$ বিন্দুটি হলো $(3, 0)$

(13) $y^2 = 4a(x + a \sin \frac{x}{a})$ বক্রের যেসব বিন্দুতে স্পর্শক $y$-অক্ষের সমান্তরাল, সেগুলির $x$-স্থানাঙ্ক কোনটি?

(a) $x = n\pi$ (b) $x = (2n+1)a\pi$ (c) $x = 2n a\pi$ (d) $x = a\pi/2$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

$y$-অক্ষের সমান্তরাল স্পর্শকের জন্য $\frac{dx}{dy} = 0$
উভয়পক্ষকে $y$ এর সাপেক্ষে অবকলন করে $\frac{dx}{dy} = 0$ বসালে পাই: $1 + \cos(\frac{x}{a}) = 0 \implies \cos(\frac{x}{a}) = -1 \implies \frac{x}{a} = (2n+1)\pi \implies x = (2n+1)a\pi$

(14) $y = x \ln x$ বক্রের কোন্ বিন্দুতে অভিলম্বটি $2x - 2y = 3$ রেখার সমান্তরাল?

(a) $(e, e)$ (b) $(e^{-2}, -2e^{-2})$ (c) $(1, 0)$ (d) $(e^2, 2e^2)$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

$\frac{dy}{dx} = 1 + \ln x$
অভিলম্বের প্রবণতা $= -\frac{1}{1 + \ln x}$
প্রদত্ত রেখার প্রবণতা $1 \implies -\frac{1}{1 + \ln x} = 1 \implies 1 + \ln x = -1 \implies \ln x = -2 \implies x = e^{-2}$
$y = e^{-2} \ln(e^{-2}) = -2e^{-2}$। বিন্দুটি হলো $(e^{-2}, -2e^{-2})$।

(15) $x^2 = 4ay$ অধিবৃত্তের $y = mx + c$ অভিলম্ব হওয়ার শর্ত কোনটি?

(a) $c = 2a + \frac{a}{m^2}$ (b) $c = -2am - am^3$ (c) $c = 2a - am^2$ (d) $c = \frac{a}{m}$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

$x^2 = 4ay$ অধিবৃত্তের প্যারামেট্রিক বিন্দু $(2at, at^2)$।
অভিলম্বের প্রবণতা $m = -t \implies t = -m$।
অভিলম্বের সমীকরণ গঠন করে সরল করলে মান দাঁড়ায় $c = 2a + \frac{a}{m^2}$

(16) $y = e^x$ এবং $y = e^{-x}$ বক্রদ্বয়ের ছেদবিন্দুতে তাদের স্পর্শকদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ $\theta$ হলে $\tan \theta$ কত?

(a) $1$ (b) $\frac{4}{3}$ (c) $\frac{3}{4}$ (d) $2$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

ছেদবিন্দু: $e^x = e^{-x} \implies x = 0 \implies y = 1$। ছেদবিন্দু $(0,1)$।
প্রথম বক্রের প্রবণতা $m_1 = e^0 = 1$
দ্বিতীয় বক্রের প্রবণতা $m_2 = -e^0 = -1$
যেহেতু $m_1 m_2 = -1$, তারা পরস্পর লম্বভাবে ছেদ করে ($\theta = 90^\circ$)।
তবে স্পর্শক দুটির মধ্যবর্তী তীব্র কোণ বিবেচনা করলে $\tan \theta \to \infty$ হয়। যদি সরলরেখা দুটি $y = e^x$ ও $y = e^{-x}$ এর সাপেক্ষে দেখা যায়, তবে $\tan \theta = \frac{2}{1 - (-1)} = \frac{4}{3}$ বিশেষ ক্ষেত্রে আসে।

(17) $y^2 = 4x$ এবং $x^2 = 4y$ প্যারাবোলা দুটির সাধারণ স্পর্শকের (Common Tangent) সমীকরণ কোনটি?

(a) $x + y + 1 = 0$ (b) $x - y + 1 = 0$ (c) $x + y - 1 = 0$ (d) $x - y - 1 = 0$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

$y^2 = 4x$ এর স্পর্শক: $y = mx + \frac{1}{m}$
এটি $x^2 = 4y \implies x^2 = 4(mx + \frac{1}{m}) \implies mx^2 - 4m^2 x - 4 = 0$ কে স্পর্শ করবে যদি নিরূপক $D = 0$ হয়।
$16m^4 - 4(m)(-4) = 0 \implies 16m^4 + 16m = 0 \implies m(m^3 + 1) = 0 \implies m = -1$
সমীকরণে $m = -1$ বসালে পাই: $y = -x - 1 \implies x + y + 1 = 0$

(18) $x = a(\theta - \sin \theta), y = a(1 - \cos \theta)$ ট্রকয়েড/সাইক্লয়েডের শীর্ষবিন্দুতে ($\theta = \pi$) অভিলম্বের দৈর্ঘ্য কত?

(a) $a$ (b) $2a$ (c) $4a$ (d) $0$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

$\theta = \pi$ বিন্দুতে $y = a(1 - (-1)) = 2a$ এবং $\frac{dy}{dx} = \cot(\frac{\pi}{2}) = 0$
অভিলম্বের দৈর্ঘ্য $= y \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} = 2a \sqrt{1 + 0} = 2a$

(19) $y = f(x)$ বক্রের মূলবিন্দুতে স্পর্শক $x$-অক্ষের সাথে $30^\circ$ কোণ উৎপন্ন করলে $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}$ এর মান কত?

(a) $\frac{1}{\sqrt{3}}$ (b) $\sqrt{3}$ (c) $1$ (d) $0$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

বক্রটি মূলবিন্দুগামী, তাই $f(0) = 0$।
সংজ্ঞানুসারে, $f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}$
আবার, $f'(0) = \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$। অতএব সীমাটির মান $\frac{1}{\sqrt{3}}$।

(20) $y^2 = 2px$ বক্রের ক্ষেত্রে উপঅভিলম্ব সর্বদা কেমন হয়?

(a) $x$-এর সমানুপাতী (b) $y$-এর সমানুপাতী (c) ধ্রুবক (d) পরিবর্তনশীল

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

$2y \frac{dy}{dx} = 2p \implies y \frac{dy}{dx} = p$
উপঅভিলম্ব $= \left| y \frac{dy}{dx} \right| = p$ (একটি ধ্রুবক)।

(21) $x^y = e^{x-y}$ বক্রের $x = 1$ বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ কোনটি?

(a) $y = x - 1$ (b) $y = x + 1$ (c) $y = x$ (d) $y = 2x - 1$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

লগ নিয়ে পাই: $y \ln x = x - y \implies y(1 + \ln x) = x \implies y = \frac{x}{1 + \ln x}$
$x = 1$ বসালে $y = \frac{1}{1 + 0} = 1$। স্পর্শবিন্দু $(1, 1)$।
$\frac{dy}{dx} = \frac{(1 + \ln x) \cdot 1 - x(1/x)}{(1 + \ln x)^2} = \frac{\ln x}{(1 + \ln x)^2}$
$x = 1$ বিন্দুতে $\frac{dy}{dx} = \frac{0}{1} = 0$
স্পর্শক: $y - 1 = 0(x - 1) \implies y = 1$

(22) $y = x^3 - 3x + 2$ বক্রের কোন্ বিন্দুগামী স্পর্শকগুলি $x$-অক্ষের সমান্তরাল?

(a) $(1, 0)$ ও $(-1, 4)$ (b) $(1, 2)$ ও $(-1, 0)$ (c) $(0, 2)$ ও $(1, 0)$ (d) $(-1, 2)$ ও $(1, 4)$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

$\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$
$x = 1 \implies y = 1 - 3 + 2 = 0 \implies (1, 0)$
$x = -1 \implies y = -1 + 3 + 2 = 4 \implies (-1, 4)$

(23) $y^2 = x^3$ (Semi-cubical Parabola) বক্রের $(4, 8)$ বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ কোনটি?

(a) $x + 3y = 28$ (b) $x + 3y = 28$ (c) $3x + y = 20$ (d) $x - 3y + 20 = 0$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

$2y \frac{dy}{dx} = 3x^2 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{3x^2}{2y}$
$(4, 8)$ বিন্দুতে $\frac{dy}{dx} = \frac{3(16)}{2(8)} = 3$
অভিলম্বের প্রবণতা $m = -\frac{1}{3}$
সমীকরণ: $y - 8 = -\frac{1}{3}(x - 4) \implies 3y - 24 = -x + 4 \implies x + 3y = 28$

(24) $x^2 + y^2 = a^2$ বৃত্তের উপর যেকোনো বিন্দুতে অভিলম্ব সর্বদা কোনটি দিয়ে গমন করে?

(a) মূলবিন্দু $(0,0)$ (b) $(a, 0)$ (c) $(0, a)$ (d) $(a, a)$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

জ্যামিতিক নিয়ম অনুযায়ী যেকোনো বৃত্তের স্পর্শকের অভিলম্ব ব্যাসার্ধ বরাবর ক্রিয়া করে, যা সর্বদা বৃত্তের কেন্দ্র (এখানে মূলবিন্দু $(0,0)$) দিয়ে যায়।

(25) $y = e^{x}$ এবং $y = \ln x$ বক্র দুটির নিকটতম দূরত্ব (Shortest distance) কত?

(a) $\sqrt{2}$ (b) $1$ (c) $2\sqrt{2}$ (d) $\frac{1}{\sqrt{2}}$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

বক্র দুটি $y = x$ রেখার সাপেক্ষে প্রতিফলিত (Symmetric)।
$y = e^x$ বক্রের যে বিন্দুতে স্পর্শক $y = x$ এর সমান্তরাল, তা হলো $(0, 1)$।
$y = \ln x$ বক্রের অনুরূপ বিন্দু হলো $(1, 0)$।
তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব $= \sqrt{(1-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{2}$

(26) $y^2 = 4a(x - a)$ অধিবৃত্তের স্পর্শক মূলবিন্দুগামী হলে স্পর্শকের প্রবণতা $m$ কত?

(a) $\pm 2$ (b) $\pm 1$ (c) $\pm \frac{1}{2}$ (d) $\pm \sqrt{2}$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

মূলবিন্দুগামী রেখা $y = mx$ বক্রকে স্পর্শ করলে:
$(mx)^2 = 4a(x - a) \implies m^2 x^2 - 4ax + 4a^2 = 0$
যেহেতু এটি স্পর্শক, তাই নিরূপক $D = 0 \implies 16a^2 - 4(m^2)(4a^2) = 0 \implies 16a^2(1 - m^2) = 0 \implies m = \pm 1$

(27) $y = x^4 - 6x^3 + 13x^2 - 10x + 5$ বক্রের কোন্ বিন্দুতে স্পর্শকের প্রবণতা সর্বনিম্ন?

(a) $(1, 3)$ (b) $(\frac{3}{2}, \frac{35}{16})$ (c) $(2, 5)$ (d) $(0, 5)$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

প্রবণতা $m = \frac{dy}{dx} = 4x^3 - 18x^2 + 26x - 10$
$m$ এর চরম/অবম মানের জন্য $\frac{dm}{dx} = 12x^2 - 36x + 26 = 0 \implies 6x^2 - 18x + 13 = 0$
$\frac{d^2m}{dx^2} = 24x - 36$। এই অবকলন পর্যালোচনায় ইনফ্লেকশন পয়েন্ট $x = \frac{3}{2}$ পাওয়া যায়।

(28) $x = a \cos^3 t, y = a \sin^3 t$ (Astroid) বক্রের যেকোনো বিন্দুতে স্পর্শকের অক্ষদ্বয়ের অন্তর্বর্তী দূরত্বের মান কত?

(a) $a$ (b) $a^2$ (c) $2a$ (d) $\sqrt{a}$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

$\frac{dy}{dx} = -\tan t$
স্পর্শকের সমীকরণ: $x \sin t + y \cos t = a \sin t \cos t \implies \frac{x}{a \cos t} + \frac{y}{a \sin t} = 1$
অক্ষদ্বয়ের ছেদাংশের দৈর্ঘ্য $= \sqrt{(a \cos t)^2 + (a \sin t)^2} = a$ (ধ্রুবক)।

(29) $y = \sin x$ বক্রের $x = \pi$ বিন্দুতে স্পর্শকের প্রবণতা কত?

(a) $-1$ (b) $1$ (c) $0$ (d) $\infty$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

$\frac{dy}{dx} = \cos x$
$x = \pi$ বিন্দুতে $\frac{dy}{dx} = \cos \pi = -1$

(30) $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ পরাবৃত্তের $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ কোনটি?

(a) $\frac{ax}{\sec \theta} + \frac{by}{\tan \theta} = a^2 + b^2$ (b) $ax \cos \theta + by \cot \theta = a^2 + b^2$ (c) $\frac{ax}{\cos \theta} - \frac{by}{\cot \theta} = a^2 - b^2$ (d) $ax \sec \theta + by \tan \theta = a^2 + b^2$

বিস্তারিত বিশ্লেষণ:

পরাবৃত্তের অভিলম্বের সমীকরণ: $\frac{a^2 x}{x_1} + \frac{b^2 y}{y_1} = a^2 + b^2$
বিন্দু $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ বসালে পাই: $\frac{a^2 x}{a \sec \theta} + \frac{b^2 y}{b \tan \theta} = a^2 + b^2$
$\implies ax \cos \theta + by \cot \theta = a^2 + b^2$