Conditional Probability অধ্যায়ের গুরুত্বপূর্ণ একটি অংশ Sequential Sampling Without Replacement নিয়ে এবার শুরু করছি Part 3। এই MCQ সেটে একটি নির্দিষ্ট ক্রমে বস্তু নির্বাচন করার সময় replacement না করলে probability কীভাবে পরিবর্তিত হয়, সেই ধারণার উপর ভিত্তি করে বিভিন্ন প্রশ্ন দেওয়া হয়েছে।
এখানে প্রতিটি ধাপে আগের selection-এর ফলাফল পরবর্তী selection-এর probability-কে কীভাবে প্রভাবিত করে, সেটি ভালোভাবে বুঝতে হবে। তাই প্রশ্নগুলো সমাধান করার সময় প্রতিটি ধাপের conditional probability মন দিয়ে বিশ্লেষণ করো।
নিজে আগে চেষ্টা করো, ধাপে ধাপে probability নির্ণয় করো এবং তারপর উত্তর মিলিয়ে নাও। Concept পরিষ্কার থাকলে এই ধরনের প্রশ্ন অনেক সহজ হয়ে যাবে।
দ্বাদশ শ্রেণী (Sem-3): সশর্ত সম্ভাবনা (Sequential Sampling Without Replacement)
Detailed Solution:
ধরি, $R_1$ হলো প্রথম বলটি লাল হওয়ার ঘটনা এবং $B_2$ হলো দ্বিতীয় বলটি কালো হওয়ার ঘটনা।
প্রথমে মোট বল = $5 + 4 = 9$ টি।
প্রথম বলটি লাল তোলা হলে পাত্রে অবশিষ্ট থাকে 4 টি লাল এবং 4 টি কালো বল (মোট 8 টি বল)।
অতএব, শর্তাধীন সম্ভাবনা $P(B_2 | R_1) = \frac{\text{অবশিষ্ট কালো বলের সংখ্যা}}{\text{অবশিষ্ট মোট বলের সংখ্যা}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$।
Detailed Solution:
ধরি, $A_1$ ও $A_2$ যথাক্রমে প্রথম ও দ্বিতীয় তাস টেক্কা হওয়ার ঘটনা।
প্রথম তাসটি টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা $P(A_1) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$।
পুনঃস্থাপন না করায়, অবশিষ্ট মোট তাস = 51 টি এবং টেক্কা = 3 টি।
প্রথমটি টেক্কা হওয়ার সাপেক্ষে দ্বিতীয়টি টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা $P(A_2 | A_1) = \frac{3}{51} = \frac{1}{17}$।
গুণসূত্র অনুযায়ী, দুটিই টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা $P(A_1 \cap A_2) = P(A_1) \times P(A_2 | A_1) = \frac{1}{13} \times \frac{1}{17} = \frac{1}{221}$।
Detailed Solution:
মোট বাল্ব = $6 + 4 = 10$ টি।
প্রথম ভালো বাল্ব পাওয়ার সম্ভাবনা $P(G_1) = \frac{6}{10}$।
পুনঃস্থাপন না করায়, দ্বিতীয় ভালো বাল্ব পাওয়ার সম্ভাবনা $P(G_2 | G_1) = \frac{5}{9}$।
তৃতীয় ভালো বাল্ব পাওয়ার সম্ভাবনা $P(G_3 | G_1 \cap G_2) = \frac{4}{8}$।
নির্ণেয় সম্ভাবনা $P(G_1 \cap G_2 \cap G_3) = \frac{6}{10} \times \frac{5}{9} \times \frac{4}{8} = \frac{120}{720} = \frac{1}{6}$।
Detailed Solution:
দ্বিতীয় মার্বেলটি নীল ($B_2$) হওয়ার দুটি উপায় রয়েছে:
1. প্রথমটি সাদা ও দ্বিতীয়টি নীল ($W_1 \cap B_2$): $P(W_1) \times P(B_2 | W_1) = \frac{3}{10} \times \frac{7}{9} = \frac{21}{90}$
2. প্রথমটি নীল ও দ্বিতীয়টি নীল ($B_1 \cap B_2$): $P(B_1) \times P(B_2 | B_1) = \frac{7}{10} \times \frac{6}{9} = \frac{42}{90}$
সম্পূর্ণ সম্ভাবনার সূত্রানুযায়ী, $P(B_2) = \frac{21}{90} + \frac{42}{90} = \frac{63}{90} = \frac{7}{10}$।
Detailed Solution:
কমপক্ষে একটি পুরষ্কার পাওয়ার সম্ভাবনা = $1 - (\text{কোনো পুরষ্কার না পাওয়ার সম্ভাবনা})$।
মোট টিকিট = 10, পুরষ্কারহীন টিকিট = 7 টি।
প্রথম টিকিটটি পুরষ্কারহীন হওয়ার সম্ভাবনা = $\frac{7}{10}$।
দ্বিতীয় টিকিটটি পুরষ্কারহীন হওয়ার সম্ভাবনা = $\frac{6}{9}$।
দুটিই পুরষ্কারহীন হওয়ার সম্ভাবনা = $\frac{7}{10} \times \frac{6}{9} = \frac{42}{90} = \frac{7}{15}$।
অতএব, কমপক্ষে একটি পুরষ্কার পাওয়ার সম্ভাবনা = $1 - \frac{7}{15} = \frac{8}{15}$।
Detailed Solution:
আমাদের $P(G_1 | G_2) = \frac{P(G_1 \cap G_2)}{P(G_2)}$ নির্ণয় করতে হবে।
$P(G_1 \cap G_2) = P(G_1) \times P(G_2 | G_1) = \frac{4}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{12}{90}$।
অনুরূপভাবে, $P(G_2) = P(G_1 \cap G_2) + P(Y_1 \cap G_2) = \frac{12}{90} + \left(\frac{6}{10} \times \frac{4}{9}\right) = \frac{12}{90} + \frac{24}{90} = \frac{36}{90} = \frac{4}{10}$।
অতএব, $P(G_1 | G_2) = \frac{12/90}{36/90} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$।
Detailed Solution:
৩ নম্বর তোলায় প্রথম টেক্কা পাওয়ার অর্থ:
প্রথমটি টেক্কা নয় ($A_1^c$), দ্বিতীয়টি টেক্কা নয় ($A_2^c$), এবং তৃতীয়টি টেক্কা ($A_3$)।
মোট তাস = 52, টেক্কা = 4, নন-টেক্কা = 48।
$P(A_1^c) = \frac{48}{52}$
$P(A_2^c | A_1^c) = \frac{47}{51}$
$P(A_3 | A_1^c \cap A_2^c) = \frac{4}{50}$
নির্ণেয় সম্ভাবনা = $\frac{48}{52} \times \frac{47}{51} \times \frac{4}{50} = \frac{48 \times 47 \times 4}{52 \times 51 \times 50}$।
Detailed Solution:
মোট বল = $8 + 4 = 12$ টি।
প্রথম বলটি কালো হওয়ার সম্ভাবনা $P(B_1) = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$।
প্রথমটি কালো তোলার পর বাকি থাকে 11 টি বল (যার মধ্যে 4 টি সাদা)।
প্রথমটি কালো হওয়ার সাপেক্ষে দ্বিতীয়টি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা $P(W_2 | B_1) = \frac{4}{11}$।
নির্ণেয় যৌথ সম্ভাবনা $P(B_1 \cap W_2) = \frac{8}{12} \times \frac{4}{11} = \frac{32}{132} = \frac{8}{33}$।
Detailed Solution:
মোট কলম = 8 টি। ডিফেক্টিভ কলম = 3 টি।
প্রথম কলমটি ডিফেক্টিভ হওয়ার সম্ভাবনা $P(D_1) = \frac{3}{8}$।
প্রথমটি ডিফেক্টিভ হলে বাক্সে বাকি থাকে 7 টি কলম (যার মধ্যে 2 টি ডিফেক্টিভ)।
দ্বিতীয় কলমটি ডিফেক্টিভ হওয়ার শর্তাধীন সম্ভাবনা $P(D_2 | D_1) = \frac{2}{7}$।
অতএব, নির্ণেয় সম্ভাবনা $P(D_1 \cap D_2) = \frac{3}{8} \times \frac{2}{7} = \frac{6}{56} = \frac{3}{28}$।
Detailed Solution:
ধরি, $R_1, R_2$ লাল ফল এবং $A_3$ আপেল তোলার ঘটনা।
১ম লাল ফল পাওয়ার সম্ভাবনা $P(R_1) = \frac{6}{10}$।
২য় লাল ফল পাওয়ার সম্ভাবনা $P(R_2 | R_1) = \frac{5}{9}$।
৩য় টি আপেল পাওয়ার সম্ভাবনা $P(A_3 | R_1 \cap R_2) = \frac{4}{8}$।
গুণসূত্র প্রয়োগ করে, নির্ণেয় সম্ভাবনা $= \frac{6}{10} \times \frac{5}{9} \times \frac{4}{8} = \frac{120}{720} = \frac{1}{6}$।
2
